Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，把矩形沿對角線所在的直線折疊，點落在點處，與軸相交于點．矩形的邊，的長是關于的一元二次方程的兩個根，且．

（1）求線段，的長；

（2）求證：，并求出線段的長；

（3）直接寫出點的坐標；

（4）若是直線上一個動點，在坐標平面內是否存在點，使以點，，，為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】

【解析】

試題分析：（1）解方程即可得到結論；

（2）由四邊形ABCO是矩形，得到AB=OC，∠ABC=∠AOC=90°，根據折疊的性質得到AD=AB，∠ADE=∠ABC=90°，根據全等三角形的判定得到△ADE≌△COE；根據勾股定理得到OE=3；

（3）過D作DM⊥x軸于M，則OE∥DM，根據相似三角形的性質得到CM=，DM=，于是得到結論．

（4）過P1作P1H⊥AO于H，根據菱形的性質得到P1E=CE=5，P1E∥AC，設P1H=k，HE=2k，根據勾股定理得到P1E= k=5，于是得到P1（﹣，2+3），同理P3（，3﹣2），當A與F重合時，得到P2（4，5）；當CE是菱形EP4CF4的對角線時，四邊形EP4CF4是菱形，得到EP4=5，EP4∥AC，如圖2，過P4作P4G⊥x軸于G，過P4作P4N⊥OE于N，根據勾股定理即可得到結論．

試題解析：（1）解方程x2﹣12x+32=0得，x1=8，x2=4，∵OA＞OC，∴OA=8，OC=4；

（2）∵四邊形ABCO是矩形，∴AB=OC，∠ABC=∠AOC=90°，

∵把矩形OABC沿對角線AC所在直線折疊，點B落在點D處，∴AD=AB，∠ADE=∠ABC=90°，

∴AD=OC，∠ADE=∠COE，在△ADE與△COE中， ，∴△ADE≌△COE；

∵CE2=OE2+OC2，即（8﹣OE）2=OE2+42，∴OE=3；

（3）過D作DM⊥x軸于M，則OE∥DM，

∴△OCE∽△MCD，∴ ，∴CM=，DM=，∴OM= ，

∴D（﹣，）；

（4）存在；∵OE=3，OC=4，∴CE=5，過P1作P1H⊥AO于H，∵四邊形P1ECF1是菱形，∴P1E=CE=5，P1E∥AC，

∴∠P1EH=∠OAC，∴ = ，∴設P1H=k，HE=2k，∴P1E=k=5，∴P1H=，HE=2，

∴OH=2+3，∴P1（﹣，2+3），同理P3（，3﹣2），

當A與F重合時，四邊形F2ECP2是菱形，∴EF2∥CP2，EF2，=CP2=5，∴P2（4，5）；

當CE是菱形EP4CF4的對角線時，四邊形EP4CF4是菱形，∴EP4=5，EP4∥AC，

如圖2，過P4作P4G⊥x軸于G，過P4作P4N⊥OE于N，則P4N=OG，P4G=ON，EP4∥AC，∴=，

設P4N=x，EN=2x，∴P4E=CP4=x，∴P4G=ON=3﹣2x，CG=4﹣x，∴（3﹣2x）2+（4﹣x）2=（x）2，

∴x= ，∴3﹣2x= ，∴P4（，），

綜上所述：存在以點E，C，P，F為頂點的四邊形是菱形，P（﹣，2+3），（，3﹣2），（4，5），（，）．