Question

已知拋物線．

（1）求證：無論為任何實數，拋物線與軸總有兩個交點；

（2）若A、B是拋物線上的兩個不同點，求拋物線的表達式和的值；

（3）若反比例函數的圖象與（2）中的拋物線在第一象限內的交點的橫坐標為，且滿足2<<3，求k的取值范圍．

Answer 1

（2），（3）5＜k＜18

【解析】

試題分析：（1）根據拋物線的圖像與性質可知其與x軸交點的判定條件是，因此可由判別式得證結果；

（2）根據題意可求得拋物線的對稱軸，且有A，B的點可判斷它們是對稱點，根據對稱性可求出m的值，求得拋物線的解析式，然后把A點的坐標代入解析式可求得n的值；

（3）根據二次函數的增減性以及反比例函數的圖像與性質，可以判斷出兩函數之間的大小關系，構成不等式，從而解出k的取值范圍．

試題解析：（1）證明：令．

得．

不論m為任何實數，都有（m－1）2＋3＞0，即△＞0．

∴不論m為任何實數，拋物線與x軸總有兩個交點．

（2）【解析】
拋物線的對稱軸為

∵拋物線上兩個不同點A、B的縱坐標相同，

∴點A和點B關于拋物線的對稱軸對稱，則．

∴．

∴拋物線的解析式為．

∵A在拋物線上，

∴．

化簡，得．

∴ ．

（3）當2<<3時，對于，y隨著x的增大而增大，

對于，y隨著x的增大而減小．

所以當時，由反比例函數圖象在二次函數圖象上方，得＞，

解得k＞5．

當時，由二次函數圖象在反比例函數圖象上方，得＞，

解得k＜18．

所以k的取值范圍為5＜k＜18．

考點：二次函數的圖像與性質綜合題