Question

【題目】（問題情境）

如圖1，四邊形ABCD是正方形，M是BC邊上的一點，E是CD邊的中點，AE平分∠DAM．求證：AM=AD+MC．

（探究展示）

（2）若四邊形ABCD是長與寬不相等的矩形，其他條件不變，如圖2，試判斷AM=AD+MC是否成立？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由；

（拓展延伸）

（3）若（2）中矩形ABCD兩邊AB=6，BC=9，求AM的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）結論AM=AD+CM仍然成立；（3）10

【解析】

（1）從平行線和中點這兩個條件出發，延長AE、BC交于點N，如圖1（1），易證△ADE≌△NCE，從而有AD=CN，只需證明AM=NM即可．
（2）延長AE，BC相交于N，易證△ADE≌△NCE，得AD=CN，AM=MN=NC+MC=AD+MC；．
（3）設MC=x，則BM=BC﹣CN=9﹣x，由（2）知，AM=AD+MC=9+x，在Rt△ABC中，AM2﹣BM2=AB2，即（9+x）2﹣（9﹣x）2=36.

（1）延長AE，BC相交于N，

∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠ENC，

∵AE平分∠DAE，∴∠∠DAE=∠MAE，

∴∠ENC=∠MAE，在△ADE和△NCE中，

，

∴△ADE≌△NCE，∴AD=CN，

∴AM=MN=NC+MC=AD+MC；

（2）結論AM=AD+CM仍然成立，延長AE，BC相交于N，

∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠ENC，

∵AE平分∠DAE，∴∠DAE=∠MAE，

∴∠ENC=∠MAE，

在△ADE和△NCE中，，

∴△ADE≌△NCE，∴AD=CN，∴AM=MN=NC+MC=AD+MC；

（3）設MC=x，則BM=BC﹣CN=9﹣x，

由（2）知，AM=AD+MC=9+x，在Rt△ABC中，AM2﹣BM2=AB2，

（9+x）2﹣（9﹣x）2=36，

∴x=1，∴AM=AD+MC=10．