Question

【題目】如圖，已知為的直徑，為的切線，連接，過作交于，連接交于，延長交于點

（1）求證：是的切線；

（2）若

①求的長；

②連接交于，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①12，②

【解析】

（1）連接OD，由切線的性質和圓周角定理可得∠CAB=90°=∠ADB，由“SAS”判定△CDO≌△CAO，則∠CDO=∠CAO=90°，然后根據切線的判定定理可得到CD是⊙O的切線；
（2）①設⊙O半徑為r，則OD=OB=r，在Rt△ODE中利用勾股定理得到r2+42=（r+2）2，解得r=6，即OB=6，然后根據平行線分線段成比例定理，由DB∥OC得到DE：CD=BE：OB，于是可計算出CD=12；
②由△CDO≌△CAO得到AC=CD=6，在Rt△AOC中利用勾股定理計算出OC=,再證明Rt△OAG∽△OCA，利用相似比計算出OG=，則CG=OC-OG=，易得BD=2OG=，然后利用CG∥BD得到．

證明：如圖，連接

為的切線，為的直徑

,

,

,

,

,且

,

,

,且是半徑，

是的切線;

①設半徑為,則

在中，

,解得

,

②由（1）得△CDO≌△CAO，
∴AC=CD=12，
在Rt△AOC中，OC=，
∵∠AOG=∠COA，
∴Rt△OAG∽△OCA，
∴，
即，
∴OG=，
∴CG=OC-OG=，
∵OG∥BD，OA=OB，
∴OG為△ABD的中位線，
∴BD=2OG=，
∵CG∥BD，
∴

∴