Question

【題目】如圖①、②、③、○n、…、M、N分別是⊙O的內接正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE、…、正n邊形ABCDE…的邊AB、BC上的點，且BM=CN，連接OM、ON.

（1）求圖①中∠MON的度數；

（2）圖②中∠MON的度數是_________，圖③中∠MON的度數是___________；

（3）試探究∠MON的度數與正n邊形邊數n的關系（直接寫出答案）.

Answer 1

【答案】（1）120°（2）90°,72°（3）∠MON=.

【解析】試題分析:連接BO,CO那么,有:BM=CM, ∠OBM=∠OCN,BO=CO,利用SAS證明△OBM≌△OCN,同理可得,圖1中的∠MON=∠BOC=120°,圖2中心角等于360°÷4=90°,圖3的中心角等于360°÷5=72°,所以,（1）120°,（2）90° 72°,（3）正n邊形時, ∠MON=∠BOC=360°÷n, ∠MON是一定值,取特殊位置進行分析,對三個圖取B與M重合,N與C重合,即可求出∠MON的值.

試題解析:（1）解法一:連接OB,OC,

∵正△ABC內接于⊙O,

∴∠OBM=∠OCN=30°,∠BOC=120°.

又∵BM=CN,OB=OC,

∴△OBM≌△OCN,

∴∠BOM=∠OCN,

∴∠MON=∠BOC=120°.

解法二:連接OA,OB,

∵正△ABC內接于⊙O,

∴AB=AC,∠OAM=∠OBN=30°,∠AOB=120°,

又∵BM=CN,

∴AM=BN,

又∵OA=OB,

∴△AOM≌△BON,

∴∠AOM=∠BON,

∴∠AON=∠AOB=120°.

（2）90°, 72°.

（3）∠MON=.