Question

【題目】如圖，拋物線y=x2在第一象限內經過的整數點（橫坐標、縱坐標都為整數的點）依次為A1，A2，A3…An，…．將拋物線y=x2沿直線L：y=x向上平移，得一系列拋物線，且滿足下列條件：①拋物線的頂點M1，M2，M3，…Mn，…都在直線L：y=x上；②拋物線依次經過點A1，A2，A3…An，…．則頂點M2014的坐標為_______．

Answer 1

【答案】（4027，4027）.

【解析】

試題解析：M1（a1，a1）是拋物線y1=（x-a1）2+a1的頂點，

拋物線y=x2與拋物線y1=（x-a1）2+a1相交于A1，

得x2=（x-a1）2+a1，

即2a1x=a12+a1，

x=（a1+1）．

∵x為整數點

∴a1=1，

M1（1，1）；

M2（a2，a2）是拋物線y2=（x-a2）2+a2=x2-2a2x+a22+a2頂點，

拋物線y=x2與y2相交于A2，

x2=x2-2a2x+a22+a2，

∴2a2x=a22+a2，

x=（a2+1）．

∵x為整數點，

∴a2=3，

M2（3，3），

M3（a3，a3）是拋物線y2=（x-a3）2+a3=x2-2a3x+a32+a3頂點，

拋物線y=x2與y3相交于A3，

x2=x2-2a3x+a32+a3，

∴2a3x=a32+a3，

x=（a3+1）．

∵x為整數點

∴a3=5，

M3（5，5），

∴點M2014，兩坐標為：2014×2-1=4027，

∴M2014（4027，4027）.