Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經過點A（，0）和點B（1，），與x軸的另一個交點為C．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）點D在對稱軸的右側，x軸上方的拋物線上，且∠BDA=∠DAC，求點D的坐標；

（3）在（2）的條件下，連接BD，交拋物線對稱軸于點E，連接AE．

①判斷四邊形OAEB的形狀，并說明理由；

②點F是OB的中點，點M是直線BD的一個動點，且點M與點B不重合，當∠BMF=∠MFO時，請直接寫出線段BM的長．

Answer 1

【答案】（1）．（2）D（4，）．（3）①四邊形OAEB是平行四邊形．理由如見解析；②線段BM的長為或．

【解析】

（1）將A（，0）和B（1，）代入拋物線解析式，得：

，解得：，

解析式為：

（2）當∠BDA=∠DAC時，BD∥x軸，

∵B（1，），當y=時，，

解得：x=1或x=4，

∴D（4，），

（3）①四邊形OAEB是平行四邊形

理由如下：拋物線的對稱軸是，

∴BE=-1=，

∵A（，0）

∴OA-BE=

∵BE∥OA

∴四邊形OAEB是平行四邊形

②∵O（0，0），B（1，），F為OB的中點，

∴F（，）．

過點F作FN⊥直線BD于點N，則FN=﹣=，BN=1﹣=．

在Rt△BNF中，由勾股定理得：．

∵∠BMF=∠MFO，∠MFO=∠FBM+∠BMF，

∴∠FBM=2∠BMF．

（I）當點M位于點B右側時．

在直線BD上點B左側取一點G，使BG=BF=，連接FG，則GN=BG﹣BN=1，

在Rt△FNG中，由勾股定理得：．

∵BG=BF，

∴∠BGF=∠BFG．

又∵∠FBM=∠BGF+∠BFG=2∠BMF，

∴∠BFG=∠BMF．

又∵∠MGF=∠MGF，

∴△GFB∽△GMF．

∴，即．

∴BM=．

（II）當點M位于點B左側時，

設BD與y軸交于點K，連接FK，則FK為Rt△KOB斜邊上的中線，

∴KF=OB=FB=．

∴∠FKB=∠FBM=2∠BMF．

又∵∠FKB=∠BMF+∠MFK，

∴∠BMF=∠MFK．∴MK=KF=．

∴BM=MK+BK=+1=．

綜上所述，線段BM的長為或．