Question

【題目】如圖，已知，是的平分線，是射線上一點，．動點從點出發，以的速度沿水平向左作勻速運動，與此同時，動點從點出發，也以的速度沿豎直向上作勻速運動．連接，交于點．經過、、三點作圓，交于點，連接、．設運動時間為，其中．

（1）求的值；

（2）是否存在實數，使得線段的長度最大？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

（3）求四邊形的面積．

Answer 1

【答案】（1）8cm；（2）存在，當t=4時，線段OB的長度最大，最大為；（3）

【解析】

（1）根據題意可得，，由此可求得的值；

（2）過作，垂足為，則，設線段的長為，可得，，，根據可得，進而可得，由此可得，由此可得，則可得到答案；

（3）先證明是等腰直角三角形，由此可得，再利用勾股定理可得，最后根據四邊形的面積即可求得答案．

解：（1）由題可得：，．

∴．

（2）當時，線段的長度最大．

如圖，過作，垂足為，則．

∵平分，

∴，

∴，．

設線段的長為，

則，，．

∵，

∴，

∴，

∴，

解得：．

∴．

∴當時，線段的長度最大，最大為．

（3）∵，

∴是圓的直徑．

∴．

∵，

∴是等腰直角三角形．

∴

．

在中，．

∴四邊形的面積

．

∴四邊形的面積為．