Question

【題目】如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD的中點，連接AF、DE交于點P，過B作BG∥DE交AD于G，BG與AF交于點M．對于下列結論：①AF⊥DE；②G是AD的中點；③∠GBP＝∠BPE；④S△AGM：S△DEC＝1：4．正確的個數是（　　）

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據正方形性質得出；；，證≌，推出，求出即可判斷；證明四邊形GBED為平行四邊形，則可知正確；由平行線的性質可得正確；證明∽，可得出：：則不正確．

解：∵正方形ABCD，E，F均為中點

∴AD＝BC＝DC，EC＝DF＝BC，

∵在△ADF和△DCE中，

，

∴△ADF≌△DCE（SAS），

∴∠AFD＝∠DEC，

∵∠DEC+∠CDE＝90°，

∴∠AFD+∠CDE＝90°＝∠DGF，

∴AF⊥DE，故①正確，

∵，，

∴四邊形GBED為平行四邊形，

∴GD＝BE，

∵BE＝BC，

∴GD＝AD，

即G是AD的中點，

故②正確，

∵，

∴∠GBP＝∠BPE，

故③正確．

∵，AF⊥DE，

∴AF⊥BG，

∴∠ANG＝∠ADF＝90°，

∵∠GAM＝∠FAD，

∴△AGM∽△AFD，

設AG＝a，則AD＝2a，AF＝a，

∴．

∵△ADF≌△DCE，

∴S△AGM：S△DEC＝1：5．

故④錯誤．

故選：C．