Question

某旅游勝地欲開發一座景觀山．從山的側面進行勘測，迎面山坡線ABC由同一平面內的兩段拋物線組成，其中AB所在的拋物線以A為頂點、開口向下，BC所在的拋物線以C為頂點、開口向上．以過山腳（點C）的水平線為x軸、過山頂（點A）的鉛垂線為y軸建立平面直角坐標系如圖（單位：百米）．已知AB所在拋物線的解析式為y=-x²+8，BC所在拋物線的解析式為y=（x-8）²，且已知B（m，4）．
（1）設P（x，y）是山坡線AB上任意一點，用y表示x，并求點B的坐標；
（2）從山頂開始、沿迎面山坡往山下鋪設觀景臺階．這種臺階每級的高度為20厘米，長度因坡度的大小而定，但不得小于20厘米，每級臺階的兩端點在坡面上（見圖）．
①分別求出前三級臺階的長度（精確到厘米）；
②這種臺階不能一直鋪到山腳，為什么？
（3）在山坡上的700米高度（點D）處恰好有一小塊平地，可以用來建造索道站．索道的起點選擇在山腳水平線上的點E處，OE=1600（米）．假設索道DE可近似地看成一段以E為頂點、開口向上的拋物線，解析式為y=（x-16）²．試求索道的最大懸空高度．

Answer 1

解：（1）∵P（x，y）是山坡線AB上任意一點，
∴y=-x²+8，x≥0，
∴x²=4（8-y），x=2
∵B（m，4），∴m=2，
∴B（4，4）

（2）在山坡線AB上，x=2，A（0，8）
①令y₀=8，得x₀=0；令y₁=8-0.002=7.998，
得x₁=2≈0.08944
∴第一級臺階的長度為x₁-x₀=0.08944（百米）≈894（厘米）
同理，令y₂=8-2×0.002、y₃=8-3×0.002，
可得x₂≈0.12649、x₃≈0.15492
∴第二級臺階的長度為x₂-x₁=0.03705（百米）≈371（厘米）
第三級臺階的長度為x₃-x₂=0.02843（百米）≈284（厘米）
②取點B（4，4），
又取y=4+0.002，則x=2≈3.99900
∵4-3.99900=0.001＜0.002
∴這種臺階不能從山頂一直鋪到點B，從而就不能一直鋪到山腳．

（3）D（2，7）、E（16，0）、B（4，4）、C（8，0）由圖可知，
只有當索道在BC上方時，索道的懸空高度才有可能取最大值
索道在BC上方時，
懸空高度y=（x-16）²-（x-8）²=（-3x²+40x-96）=-（x-）²+
當x=時，ymax=
∴索道的最大懸空高度為米．
分析：（1）設P的坐標為（x，y）代入公式求出x與y的等式關系，然后再把B的坐標代入即可求解．
（2）分別求出前三級臺階的長度，按此推理．解題時要注意題目的開放性．
點評：本題屬二次函數應用中的難題．
解決函數應用問題的一般步驟為：
（1）審題：弄清題意，分清條件和結論，理清數量關系；
（2）建模：將文字語言轉化為數學語言，利用數學知識建立相應的數學模型；
（3）求模：求解數學模型，得到數學結論；
（4）還原：將用數學方法得到的結論還原為實際問題．