Question

【題目】定義：

數(shù)學(xué)活動課上，李老師給出如下定義：如果一個三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半，那么稱這個三角形為“智慧三角形”．

理解：

（1）如圖，已知、是上兩點，請在圓上找出滿足條件的點，使為“智慧三角形”（畫出點的位置，保留作圖痕跡）；

（2）如圖，在正方形中，是的中點，是上一點，且，試判斷是否為“智慧三角形”，并說明理由；

運用：

（3）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，點是直線上的一點，若在上存在一點，使得為“智慧三角形”，當(dāng)其面積取得最小值時，直接寫出此時點的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）是否為“智慧三角形”，理由見解析；（3）點的坐標(biāo)，．

【解析】

（1）連結(jié)AO并且延長交圓于C1，連結(jié)BO并且延長交圓于C2，即可求解；
（2）設(shè)正方形的邊長為4a，表示出DF、CF以及EC、BE的長，然后根據(jù)勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2，再根據(jù)勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形，由直角三角形的性質(zhì)可得△AEF為“智慧三角形”；
（3）根據(jù)“智慧三角形”的定義可得△OPQ為直角三角形，根據(jù)題意可得一條直角邊為1，當(dāng)斜邊最短時，另一條直角邊最短，則面積取得最小值，由垂線段最短可得斜邊最短為3，根據(jù)勾股定理可求另一條直角邊，再根據(jù)三角形面積可求斜邊的高，即點P的橫坐標(biāo)，再根據(jù)勾股定理可求點P的縱坐標(biāo)，從而求解．

（1）解析】如圖所示

（2）是否為“智慧三角形”，

理由如下：設(shè)正方形的邊長為，

∵是的中點，∴，

∵，∴，，

在中，，

在中，，

在中，，

∴，

∴是直角三角形，

∵斜邊上的中線等于的一半，

∴為“智慧三角形”；

（3）如圖所示：

由“智慧三角形”的定義可得為直角三角形，

根據(jù)題意可得一條直角邊為1，當(dāng)斜邊最短時，另一條直角邊最短，則面積取得最小值，由垂線段最短可得斜邊最短為3，

由勾股定理可得，，

由勾股定理可求得，

故點的坐標(biāo)，．