Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，點A（t，0），B（t+2，0），C（n，1），若射線OC上存在點P，使得△ABP是以AB為腰的等腰三角形，就稱點P為線段AB關于射線OC的等腰點．

（1）如圖，t＝0，

①若n＝0，則線段AB關于射線OC的等腰點的坐標是　 　；

②若n＜0，且線段AB關于射線OC的等腰點的縱坐標小于1，求n的取值范圍；

（2）若n＝，且射線OC上只存在一個線段AB關于射線OC的等腰點，則t的取值范圍是　 　．

Answer 1

【答案】（1）①（0,2） ② （2）﹣4＜t≤﹣2或t＝0或﹣2＜t≤

【解析】

（1）①根據線段AB關于射線OC的等腰點的定義可知OP＝AB＝2，由此即可解決問題．

②如圖2中，當OP＝AB時，作PH⊥x軸于H．求出點P的橫坐標，利用圖象法即可解決問題．

（2）如圖3﹣1中，作CH⊥y軸于H．分別以A，B為圓心，AB為半徑作⊙A，⊙B．首先證明∠COH＝30°，由射線OC上只存在一個線段AB關于射線OC的等腰點，推出射線OC與⊙A，⊙B只有一個交點，求出幾種特殊位置t的值，利用數形結合的思想解決問題即可．

解：（1）①如圖1中，由題意A（0，0），B（2，0），C（0，1），

∵點P是線段AB關于射線OC的等腰點，

∴OP＝AB＝2，

∴P（0，2）．

故答案為（0，2）．

②如圖2中，當OP＝AB時，作PH⊥x軸于H．

在Rt△POH中，∵PH＝OC＝1，OP＝AB＝2

∴OH＝＝，

觀察圖象可知：若n＜0，且線段AB關于射線OC的等腰點的縱坐標小于1時，n＜﹣．

（2）如圖3﹣1中，作CH⊥y軸于H．分別以A，B為圓心，AB為半徑作⊙A，⊙B．

由題意C（，1），

∴CH＝，OH＝1，

∴tan∠COH＝＝，

∴∠COH＝30°，

當⊙B經過原點時，B（﹣2，0），此時t＝﹣4，

∵射線OC上只存在一個線段AB關于射線OC的等腰點，

∴射線OC與⊙A，⊙B只有一個交點，觀察圖象可知當﹣4＜t≤﹣2時，滿足條件，

如圖3﹣2中，當點A在原點時，∵∠POB＝60°，此時兩圓的交點P在射線OC上，滿足條件，此時t＝0，

如圖3﹣3中，當⊙B與OC相切于P時，連接BP．

∴OC是⊙B的切線，

∴OP⊥BP，

∴∠OPB＝90°，

∵BP＝2，∠POB＝60°，

∴OB＝＝，此時t＝﹣2，

如圖3﹣4中，當⊙A與OC相切時，同法可得OA＝，此時t＝

觀察圖形可知，滿足條件的t的值為：﹣2＜t≤，

綜上所述，滿足條件t的值為﹣4＜t≤﹣2或t＝0或﹣2＜t≤．

故答案為：﹣4＜t≤﹣2或t＝0或﹣2＜t≤．