Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點，且此拋物線的頂點坐標為．

求此拋物線的解析式；

設點D為已知拋物線對稱軸上的任意一點，當與面積相等時，求點D的坐標；

點P在線段AM上，當PC與y軸垂直時，過點P作x軸的垂線，垂足為E，將沿直線CE翻折，使點P的對應點與P、E、C處在同一平面內，請求出點坐標，并判斷點是否在該拋物線上．

Answer 1

【答案】點D的坐標為或點不在該拋物線上

【解析】

由拋物線經過的C點坐標以及頂點M的坐標，利用待定系數法即可求出拋物線解析式；

設點D坐標為，根據三角形的面積公式以及與面積相等，即可得出關于含絕對值符號的一元一次方程，解方程即可得出結論；

作點P關于直線CE的對稱點，過點作軸于H，設交y軸于點根據對稱的性質即可得出≌，從而得出，由點A、M的坐標利用待定系數法可求出直線AM的解析式，進而得出點P的坐標，在中，由勾股定理可求出CN的值，再由相似三角形的性質以及線段間的關系即可找出點的坐標，將其代入拋物線解析式中看等式是否成立，由此即可得出結論．

拋物線經過點，頂點為，

，解得：，

所求拋物線的解析式為，

依照題意畫出圖形，如圖1所示，

令，解得：或，

故A，，

，為等腰直角三角形，

設AC交對稱軸于，

由點、可知直線AC的解析式為，

，即，

設點D坐標為，

則．，

又，且，

，解得：或，

點D的坐標為或；

如圖2，點為點P關于直線CE的對稱點，過點作軸于H，設交y軸于點N．

在和中，，

≌，

設，則，

、可知直線AM的解析式為，

當時，，即點，

，，

在中，由勾股定理，得：，

解得：，

，

，

由∽可得：，

，

，

的坐標為，

將點代入拋物線解析式，

得：，

點不在該拋物線上．