Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，tanA＝，D、E分別在AC、AB邊上，BD⊥CE于F．

（1）如圖1，若E是AB的中點，求證：CE＝BD；

（2）如圖2，若＝，求tan∠ABD；

（3）BC＝2，P點在AC邊上運動，請直接寫出BP+AP的最小值為　 　．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）tan∠ABD＝；（3）

【解析】

（1）過點E作EG⊥AC于G，先判斷出AC＝2BC，再判斷出EG是△ABC的中位線，得出AC＝2CG，進而得出BC＝CG，判斷出△CEG≌△BDC，即可得出結論；

（2）先判斷出△CGE∽△BCD，設出CG＝2m，BC＝3m，進而表示出AG＝4m，再用三角函數表示出EG，CD，進而表示出AD，進而借助勾股定理表示出DH，BH，即可得出結論；

（3）先作出PH＝PG＝AP，進而得出當點B，P，H在同一條線上時，BP+PH最小，判斷出AP＝BP，再求出AN＝PN＝AB＝，進而求出AP＝，即可得出結論．

（1）證明：過點E作EG⊥AC于G，

在Rt△ABC中，tanA＝＝，

∴AC＝2BC，

∵∠ACB＝90°，

∴∠GCE+∠BCE＝90°，

∵BD⊥CE，

∴∠BCE+∠CBD＝90°，

∴∠GCE＝∠CBD，

∴∠CGE＝90°＝∠ACB，

∴EG∥BC，

∵點E是AB的中點，

∴EG是△ABC的中位線，

∴AC＝2CG，

∴BC＝CG，

∴△CEG≌△BDC（ASA），

∴CE＝BD；

（2）如圖2，由（1）知，AC＝2BC，根據勾股定理得，AB＝BC，

過點E作EG⊥AC于G，

∴∠CGE＝∠BCD＝90°，

同（1）的方法得，∠ECG＝∠DCB，

∴△CGE∽△BCD，

∴，

∵，

∴，

設CG＝2m，BC＝3m，

∴AB＝3m，AC＝6m，

∴AG＝AC﹣CG＝4m，

在Rt△AGE中，tanA＝＝，

∴EG＝AG＝2m，

∴CD＝3m，

∴AD＝AC﹣CD＝3m，

過點D作DH⊥AB于H，tanA＝＝，

設DH＝n，AH＝2n，根據勾股定理得，n＝3m，

∴n＝m

∴DH＝m，AH＝m，

∴BH＝AB﹣AH＝m，

在Rt△DHB中，tan∠ABD＝＝．

（3）在Rt△ABC中，tanA＝＝，BC＝2，

∴AC＝4，根據勾股定理得，AB＝2，

如圖3，過點P作PN⊥AB交AB于N，

在AP的延長線上取一點G，使PG＝AP，作點G關于PN的對稱點H，連接PH，此時，PH＝PG＝AP，

∴BP+AP＝BP+PH，

當點B，P，H在同一條線上時，BP+PH最小，

如圖4，

由對性知，PH＝PG，

∴∠H＝∠PGH，

∵GH⊥PN，

∴HG∥AB，

∴∠A＝∠PGH，∠ABP＝∠H，

∴∠A＝∠ABP，

∴PA＝PB，

∵PN⊥AB，

∴AN＝PN＝AB＝，

在Rt△APN中，tanA＝＝，

∴PN＝AN＝，根據勾股定理得，AP＝，

∴（BP+AP）最小＝BP+PG＝BP+AP＝AP+AP＝AP＝，

故答案為．