Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，點E為邊BC的上一動點，作AF⊥DE交DE、DC分別于P、F點，連PC

（1）若點E為BC的中點，求證：F點為DC的中點；

（2）若點E為BC的中點，PE＝6，PC＝，求PF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2

【解析】

（1）先證得△ADF≌△DCE，推出DF＝CE，由EC＝BC，BC＝DC，繼而可得DF＝DC，即可求證結論；

（2）延長PE到N，使得EN＝PF，連接CN，易證△CEN≌△CFP，繼而推出△NCP是等腰直角三角形，推出PN＝PE+NE＝PE+PF＝，即可求解．

證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠C＝90°，

∵AF⊥DE，

∴∠APD＝∠DPF＝90°，

∴∠ADP+∠DAF＝90°，∠ADP+∠EDC＝90°，

∴∠DAF＝∠EDC，

在△ADF和△DCE中，

，

∴△ADF≌△DCE（AAS），

∴DF＝CE，

∵EC＝BC，BC＝DC，

∴DF＝DC，

∴F點為DC的中點；

（2）延長PE到N，使得EN＝PF，連接CN，

∵∠AFD＝∠DEC，

∴∠CEN＝∠CFP，

又∵E，F分別是BC，DC的中點，

∴CE＝CF，

∵在△CEN和△CFP中

，

∴△CEN≌△CFP（SAS），

∴CN＝CP，∠ECN＝∠PCF，

∵∠PCF+∠BCP＝90°，

∴∠ECN+∠BCP＝∠NCP＝90°，

∴△NCP是等腰直角三角形，

∴PN＝PE+NE＝PE+PF＝，

∴PF＝﹣PE＝8﹣6＝2．