Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以邊AB為直徑的⊙O交邊BC于點D，交邊AC于點E．過D點作DF⊥AC于點F．

（1）求證：DF是⊙O的切線；

（2）求證：CF＝EF；

（3）延長FD交邊AB的延長線于點G，若EF＝3，BG＝9時，求⊙O的半徑及CD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）⊙O的半徑是，CD=3．

【解析】

（1）首先連接OD，通過等量互換，得出OD∥AC，進而得出DF⊥OD，即可得證；

（2）首先根據圓內接四邊形的性質得出∠CED=∠ABC，進而得出∠CED=∠C，CD=DE，然后根據等腰三角形的性質即可得出CF=EF；

（3）首先根據圓和等腰三角形的性質得出CD=BD，然后根據平行判定△GOD∽△GAF，利用相似成比例構建方程即可得出⊙O的半徑，利用△CED∽△CBA，即可得出CD.

（1）證明：如圖1，連接OD，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵OB=OD，

∴∠ABC=∠ODB，

∴∠C=∠ODB，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴DF⊥OD，

∴DF是⊙O的切線；

（2）證明：如圖2，連接DE，

∵四邊形AEDB為圓內接四邊形，

∴∠CED=∠ABC，

∵∠ABC=∠C，

∴∠CED=∠C，

∴CD=DE，

∵DF⊥CE，

∴CF=EF；

（3）解：如圖3，連接AD，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∵AB=AC，

∴CD=BD，

∵OD∥AC，

∴△GOD∽△GAF，

∴，

∴設⊙O的半徑是r，則AB=AC=2r，

∴AF=2r﹣3，OG=9+r，AG=9+2r，

∴，

∴r=，

即⊙O的半徑是．

∴AC=AB=9，

∵∠CED=∠ABC，∠ECD=∠ACB，

∴△CED∽△CBA，

∴，

∴，

∴CD=3．