Question

【題目】已知點A為⊙O外一點，連接AO，交⊙O于點P，AO=6．點B為⊙O上一點，連接BP，過點A作CA⊥AO，交BP延長線于點C，AC=AB．

（1）判斷直線AB與⊙O的位置關系，并說明理由．

（2）若PC=4，求 PB的長．

（3）若在⊙O上存在點E，使△EAC是以AC為底的等腰三角形，則⊙O的半徑r的取值范圍是___________．

Answer 1

【答案】（1）AB與⊙O相切 ，理由見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）連接OB，有∠OPB=∠OBP，又AC=AB，則∠C=∠ABP，利用∠CAP=90°，即可得到結論成立；

（2）由AB=AC，利用勾股定理先求出半徑，作OH⊥BP與H，利用相似三角形的判定和性質，即可求出PB的長度；

（3）根據題意得出OE=AC=AB=，利用OE=，即可求出取值范圍．

解：（1）連接OB，如圖：

∵OP=OB，

∴∠OPB=∠OBP=∠APC，

∵AC=AB，

∴∠C=∠ABP，

∵AC⊥AO，

∴∠CAP=90°，

∴∠C+∠APC=90°，

∴∠ABP+∠OBP=90°，

即OB⊥AB，

∴AB為切線；

（2）∵AB=AC

∴，

∴，

設半徑為r，則

解得：r=2；

作OH⊥BP與H，

則△ACP∽△HOP，

∴，即

∴,

∴；

（3）如圖，作出線段AC的垂直平分線MN，作OE⊥MN，

∴四邊形AOEM是矩形，

∴OE=AM=AC=AB=；
又∵圓O與直線MN有交點，
OE=，

∴，

∴，
∴，
又∵圓O與直線AC相離，
∴r＜6，
即．