Question

【題目】使得函數值為零的自變量的值稱為函數的零點．例如，對于函數y＝x－1，令y＝0可得x＝1，我們就說1是函數y＝x－1的零點．

已知y＝x2－2mx－2(m＋3)(m為常數)．

(1)當m＝0時，求該函數的零點；

(2)證明：無論m取何值，該函數總有兩個零點；

(3)設函數的兩個零點分別為x1和x2，且，此時函數圖象與x軸的交點分別為A，B(點A在點B左側)，點M在直線y＝x－10上，當MA＋MB最小時，求直線AM的函數表達式．

Answer 1

【答案】（1）或-（2）y=-x-1

【解析】試題分析：（1）根據題中給出的函數的零點的定義，將m=0代入y=x2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函數的零點；

（2）令y=0，函數變為一元二次方程，要想證明方程有兩個解，只需證明△＞0即可；

（3）根據題中條件求出函數解析式進而求得A、B兩點坐標，個、作點B關于直線y=x-10的對稱點B′，連接AB′，求出點B′的坐標即可求得當MA+MB最小時，直線AM的函數解析式．

試題解析：（1）當=0時，該函數為，令=0，可得，

∴當=0時，求該函數的零點為和。

（2）令=0，得△=，

∴無論取何值，方程總有兩個不相等的實數根。

即無論取何值，該函數總有兩個零點

（3）依題意有，

由得，即，解得。

∴函數的解析式為令=0，解得。

∵點A在點B左側，∴A()，B(4，0)。

作點B關于直線的對稱點B’，連結AB’，則AB’與直線的交點就是滿足條件的M點。易求得直線與軸、軸的交點分別為C（10,0），D（0,10）。Z.X.X.K]

連結CB’，則∠BCD=45°，∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°。

∴∠BCB’=90°，即B’（）。設直線AB’的解析式為，則Z-X-X-K]

，解得∴直線AB’的解析式為，

即AM的解析式為