Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，點O為AB中點，點P為直線BC上的動點（不與點B、點C重合），連接OC、OP，將線段OP繞點P順時針旋轉60°，得到線段PQ，連接BQ．

（1）如圖1，當點P在線段BC上時，請直接寫出線段BQ與CP的數量關系．

（2）如圖2，當點P在CB延長線上時，（1）中結論是否成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由；

（3）如圖3，當點P在BC延長線上時，若∠BPO=15°，BP=4，請求出BQ的長．

Answer 1

【答案】（1）BQ=CP；（2）成立：PC=BQ；（3）．

【解析】

試題（1）結論：BQ=CP．如圖1中，作PH∥AB交CO于H，可得△PCH是等邊三角形，只要證明△POH≌△QPB即可；

（2）成立：PC=BQ．作PH∥AB交CO的延長線于H．證明方法類似（1）；

（3）如圖3中，作CE⊥OP于E，在PE上取一點F，使得FP=FC，連接CF．設CE=CO=a，則FC=FP=2a，EF=a，在Rt△PCE中，表示出PC，根據PC+CB=4，可得方程，求出a即可解決問題；

試題解析：解：（1）結論：BQ=CP．

理由：如圖1中，作PH∥AB交CO于H．

在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，點O為AB中點，∴CO=AO=BO，∠CBO=60°，∴△CBO是等邊三角形，∴∠CHP=∠COB=60°，∠CPH=∠CBO=60°，∴∠CHP=∠CPH=60°，∴△CPH是等邊三角形，∴PC=PH=CH，∴OH=PB，∵∠OPB=∠OPQ+∠QPB=∠OCB+∠COP，∵∠OPQ=∠OCP=60°，∴∠POH=∠QPB，∵PO=PQ，∴△POH≌△QPB，∴PH=QB，∴PC=BQ．

（2）成立：PC=BQ．理由：作PH∥AB交CO的延長線于H．

在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，點O為AB中點，∴CO=AO=BO，∠CBO=60°，∴△CBO是等邊三角形，∴∠CHP=∠COB=60°，∠CPH=∠CBO=60°，∴∠CHP=∠CPH=60°，∴△CPH是等邊三角形，∴PC=PH=CH，∴OH=PB，∵∠POH=60°+∠CPO，∠QPO=60°+∠CPQ，∴∠POH=∠QPB，∵PO=PQ，∴△POH≌△QPB，∴PH=QB，∴PC=BQ．

（3）如圖3中，作CE⊥OP于E，在PE上取一點F，使得FP=FC，連接CF．

∵∠OPC=15°，∠OCB=∠OCP+∠POC，∴∠POC=45°，∴CE=EO，設CE=CO=a，則FC=FP=2a，EF=a，在Rt△PCE中，PC= = =，∵PC+CB=4，∴，解得a=，∴PC=，由（2）可知BQ=PC，∴BQ=．