Question

【題目】(1)問題發現

如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE．填空：

①∠AEB的度數為______；

②線段AD，BE之間的數量關系為______．

(2)拓展探究

如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數及線段CM，AE，BE之間的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】結論：（1）60；（2）AD=BE；應用：∠AEB＝90°；AE=2CM+BE；

【解析】

試題探究：（1）通過證明△CDA≌△CEB，得到∠CEB=∠CDA=120°，又∠CED=60°，∴∠AEB=120°－ 60°= 60°；

（2）已證△CDA≌△CEB，根據全等三角形的性質可得AD=BE；

應用：通過證明△ACD≌△BCE，得到AD = BE，∠BEC = ∠ADC=135°，所以∠AEB =∠BEC－∠CED =135°－ 45°= 90°；根據等腰直角三角形的性質可得DE = 2CM，所以AE = DE+AD=2CM+BE．

試題解析：解：探究：（1）在△CDA≌△CEB中，

AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，

∴△CDA≌△CEB，

∴∠CEB=∠CDA=120°，

又∠CED=60°，

∴∠AEB=120°－ 60°= 60°；

（2）∵△CDA≌△CEB，

∴AD=BE；

應用：∠AEB＝90°；AE=2CM+BE；

理由：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 90°，

∴AC = BC， CD = CE， ∠ACB =∠DCB =∠DCE－∠DCB， 即∠ACD = ∠BCE，

∴△ACD≌△BCE，

∴AD = BE，∠BEC = ∠ADC=135°．

∴∠AEB =∠BEC－∠CED =135°－ 45°= 90°．

在等腰直角三角形DCE中，CM為斜邊DE上的高，

∴CM =" DM" = ME，∴DE = 2CM．

∴AE = DE+AD=2CM+BE．