Question

【題目】如圖，⊙O的半徑OA⊥OC，點D在上，且＝2，OA＝4．

（1）∠COD＝　　　　°；

（2）求弦AD的長；

（3）P是半徑OC上一動點，連結AP、PD，請求出AP＋PD的最小值，并說明理由．

（解答上面各題時，請按題意，自行補足圖形）

Answer 1

【答案】（1）30；（2）弦AD長為4；（3）AP＋PD的最小值為，理由見解析.

【解析】（本小題滿分１２分）

解：（１）３０；……………………………………………………………………１分

（２）連結ＯＤ、ＡＤ（如圖２）．

∵ＯＡ⊥ＯＣ，∴∠ＡＯＣ＝９０°．∵＝２，

設所對的圓心角∠ＣＯＤ＝，………………………………………………１分

則∠ＡＯＤ＝，…………………………………………………………………２分

由∠ＡＯＤ＋∠ＤＯＣ＝９０°，

得＋＝９０°，∴＝３０°，＝６０°，…………………………３分

即∠ＡＯＤ＝６０°，又∵ＯＡ＝ＯＤ，∴△ＡＯＤ為等邊三角形，…………４分

∴ＡＤ＝ＯＡ＝４；…………………………………………………………………５分

（３）過點Ｄ作ＤＥ⊥ＯＣ，交⊙Ｏ于點Ｅ，……………………………………１分

連結ＡＥ，交ＯＣ于點Ｐ（如圖３），………………………………………………２分

則此時，ＡＰ＋ＰＤ的值最小．

∵根據圓的對稱性，點Ｅ是點Ｄ關于ＯＣ的對稱點，

ＯＣ是ＤＥ的垂直平分線，即ＰＤ＝ＰＥ．………………………………………３分

∴ＡＰ＋ＰＤ＝ＡＰ＋ＰＥ＝ＡＥ，

若在ＯＣ上另取一點Ｆ，連結ＡＦ、ＦＤ及ＥＦ，

在△ＡＦＥ中，ＡＦ＋ＦＥ＞ＡＥ，

即ＡＦ＋ＦＥ＞ＡＰ＋ＰＤ，

∴可知ＡＰ＋ＰＤ最小．…………………………………………………………４分

∵∠ＡＥＤ＝∠ＡＯＤ＝３０°，

又∵ＯＡ⊥ＯＣ，ＤＥ⊥ＯＣ，∴ＯＡ∥ＤＥ，

∴∠ＯＡＥ＝∠ＡＥＤ＝３０°．

延長ＡＯ交⊙Ｏ于點Ｂ，連結ＢＥ，∵ＡＢ為直徑，

∴△ＡＢＥ為直角三角形．由＝cos∠ＢＡＥ，……………………………５分

得ＡＥ＝ＡＢ·cos３０°＝２×４×＝，……………………………６分

即ＡＰ＋ＰＤ＝，

［也可利用勾股定理求得ＡＥ］