Question

【題目】（閱讀理解）設點P在矩形ABCD內部，當點P到矩形的一條邊的兩個端點距離相等時，稱點P為該邊的“和諧點”．例如：如圖1，矩形ABCD中，若PA＝PD，則稱P為邊AD的“和諧點”．

（解題運用）已知，點P在矩形ABCD內部，且AB=10，BC=6．

（1）設P是邊AD的“和諧點”，則P 邊BC的“和諧點”（填“是”或“不是”）；

（2）若P是邊BC的“和諧點”，連接PA，PB，當△PAB是直角三角形時，求PA的值；

（3）如圖2，若P是邊AD的“和諧點”，連接PA，PB，PD，求tan∠PAB· tan∠PBA的最小值．

Answer 1

【答案】（1）是；（2）或；（3）

【解析】

（1）證明△PAB≌△PDC，即可得證；

（2）先得出P在AD和BC的垂直平分線上，過P作PE⊥AD于E，PF⊥AB于F，易證四邊形PEAF為矩形，可得PF=3，根據PF⊥AB，得出PF2=AF·（AB-AF），設AF=x，解得x1=1，x2=9，然后即可得出答案；

（3）作PF⊥AB于F，由（2）可知PF=3，可得tan∠PAB·tan∠PBA==，設AF=x，則BF=10-x，可得AF·BF=（10-x）·x，可求出AF·BF的最大值，即可推出的最小值．

（1）是；

連接PB,PC

∵P是邊AD的“和諧點”，

∴PA=PD，

∴∠PDA=∠PAD，

∵∠CDA=∠BAD=90°，

∴∠CDP=∠BAP，

∵AP=DP，AB=CD，

∴△PAB≌△PDC（SAS），

∴PB=PC；

（2）∵P是BC的和諧點，

∴P也是AD的和諧點，

∴PB=PC，PA=PD，

∴P在AD和BC的垂直平分線上，

過P作PE⊥AD于E，PF⊥AB于F，

易證四邊形PEAF為矩形，

∴PF=AE，

又∵PA=PD，PE⊥AD，

∴AE=AD=3，

∴PF=3，

又∵△ABP為直角三角形，且P在矩形內部，

∴只能∠APB=90°，

又∵PF⊥AB，

∴PF2=AF·BF（射影定理），

∴PF2=AF·（AB-AF），

設AF=x，

∴x(10-x)=9，

x2-10x+9=0，

(x-1)(x-9)=0，

∴x1=1，x2=9，

當AF=9時 PA==，

AF=1時 PA==，

∴AF的值為或；

（3）作PF⊥AB于F，由（2）可知PF=3，

∴tan∠PAB=，tan∠PBA=，

∴tan∠PAB·tan∠PBA==

設AF=x，則BF=10-x，

∴AF·BF=（10-x）·x=-x2+10x=-（x-5）2+25，

當x=5時，AF·BF有最大值25，

∴有最小值是，

∴tan∠PAB·tan∠PBA的最小值是．