Question

【題目】如圖：△ABC是圓的內接三角形，∠BAC與∠ABC的角平分線AE、BE相交于點E，延長AE交圓于點D，連接BD、DC，且∠BCA=60°．

（1）求證：△BED為等邊三角形；

（2）若∠ADC=30°，⊙O的半徑為2，求BD長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）4.

【解析】

（1）根據角平分線的定義、三角形內角和定理得到∠DEB=60°，根據圓周角定理得到∠BDA=∠BCA=60°，根據等邊三角形的判定定理證明；

（2）根據圓周角定理得到BC是⊙O的直徑，根據勾股定理計算即可.

（1）證明：∵∠BAC與∠ABC的角平分線AE、BE相交于點E，

∴∠EAB=∠CAB，∠EBA=∠CBA，

∴∠AEB=180°﹣（∠EAB+∠EBA）=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=180°﹣（180°﹣∠BCA）=120°，

∴∠DEB=60°，

由圓周角定理得，∠BDA=∠BCA=60°，

∴△BED為等邊三角形；

（2）∵∠ADC=30°，∠BDA=60°，

∴∠BDC=90°，

∴BC是⊙O的直徑，即BC=4，

∵AE平分∠BAC，

∴=，

∴BD=DC=4．