Question

【題目】拋物線y=﹣x2平移后的位置如圖所示，點A，B坐標分別為（﹣1，0）、（3，0），設平移后的拋物線與y軸交于點C，其頂點為D．

（1）求平移后的拋物線的解析式和點D的坐標；
（2）∠ACB和∠ABD是否相等？請證明你的結論；
（3）點P在平移后的拋物線的對稱軸上，且△CDP與△ABC相似，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵將拋物線y=﹣x2平移，平移后的拋物線與x軸交于點A（﹣1，0）和點B（3，0），

∴平移后的拋物線的表達式為y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3，即y=﹣x2+2x+3，

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴頂點D的坐標為（1，4）；

（2）

解：∠ACB與∠ABD相等，理由如下：

如圖，

∵y=﹣x2+2x+3，

∴點x=0時，y=3，即C點坐標為（0，3），

又∵B（3，0），∠BOC=90°，

∴OB=OC，∠OBC=∠OCB=45°．

在△BCD中，∵BC2=32+32=18，CD2=12+12=2，BD2=22+42=20，

∴BC2+CD2=BD2，

∴∠BCD=90°，

∴tan∠CBD= ，

∵在△AOC中，∠AOC=90°，

∴tan∠ACO= = ，

∴tan∠ACO=tan∠CBD，

∴∠ACO=∠CBD，

∴∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC，

即∠ACB=∠ABD；

（3）

解：

∵點P在平移后的拋物線的對稱軸上，而y=﹣x2+2x+3的對稱軸為x=1，

∴可設P點的坐標為（1，n）．

∵△ABC是銳角三角形，

∴當△CDP與△ABC相似時，△CDP也是銳角三角形，

∴n＜4，即點P只能在點D的下方，

又∵∠CDP=∠ABC=45°，

∴D與B是對應點，分兩種情況：

① 如果△CDP∽△ABC，那么 ，

即 ，

解得n= ，

∴P點的坐標為（1， ）；

② 如果△CDP∽△CBA，那么 ，

即 ，

解得n= ，

∴P點的坐標為（1， ）．

綜上可知P點的坐標為（1， ）或（1， ）．

【解析】（1）根據平移不改變二次項系數a的值，且平移后的拋物線與x軸交于點A（﹣1，0）和點B（3，0），可知平移后拋物線的表達式為y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3，再運用配方法化為頂點式，即可求出頂點D的坐標；（2）先由B、C兩點的坐標，得出∠OBC=∠OCB=45°，再根據勾股定理的逆定理判斷△BCD是直角三角形，且∠BCD=90°，則由正切函數的定義求出tan∠CBD= ，在△AOC中，由正切函數的定義也求出tan∠ACO= ，得出∠ACO=∠CBD，則∠ACO+∠OCB=∠CBD+∠OBC，即∠ACB=∠ABD；（3）設P點的坐標為（1，n），先由相似三角形的形狀相同，得出△CDP是銳角三角形，則n＜4，再根據∠CDP=∠ABC=45°，得到D與B是對應點，所以分兩種情況進行討論：①△CDP∽△ABC；
②△CDP∽△CBA．根據相似三角形對應邊的比相等列出關于n的方程，解方程即可．