Question

【題目】如圖，在矩形中，，動點從點同時出發，點以每秒個單位長度的速度沿邊向終點勻速運動，點以每秒個單位長度的速度沿邊向終點勻速運動，以為邊在邊上方作正方形設點運動時間為．

（1）用含的代數式表示 ；

（2）當點落在邊上時，求此時的值；

（3）設正方形與矩形重疊圖形的面積為請直接寫出與之間的函數關系式，并寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）由題意可得BE，BF的長，由勾股定理即可求出EF；

（2）由四邊形EFGH是正方形，易證得，進而得出，即可求得t的值；

（3）分，，三種情況進行分類討論并畫出圖形，利用三角函數分別進行求解即可．

（1） 由題意得，BE=t，BF=2t，

在Rt△BEF中，由勾股定理得，

，

（2）當點落在邊上時，如圖所示，

過點作于點

四邊形為矩形，

∵四邊形是正方形，

，

在與中

∵

；

（3）①當時，如圖，

由題意得，BE=t，BF=2t，則AE=6-t，

∵四邊形EFGH是正方形，

，

∴∠AEM+∠BEF=90°，∠BFE+∠BEF =90°，

∴∠BFE=∠AEM，

∴，，

∴，

，

∵四邊形ABCD是矩形，四邊形EFGH是正方形，

∴∠EAM=∠MHN=90°，

∵∠AME=∠HMN，

∴∠AEM=∠HNM

∴，

∴，

∴，

；

②當時，過點M作MP⊥FG，如圖，

∵四邊形EFGH是正方形，

∴∠HEF=∠GFE=90°，

∵MP⊥FG，

∴四邊形MEFP是矩形，

∴∠EMP=90°，MP=EF=，

∴∠AME+∠PMN=90°，∠AEM+∠AME=90°，

∴∠AEM=∠PMN，

∴，

∴，

，

③當，如圖，

∵四邊形EFGH是正方形，

∴∠EFG=90°，

∴∠BFE+∠NFC=90°，∠NFC+∠FNC =90°，

∴∠BFE =∠FNC，

∴，

∴，

∴，，，

∴，

綜上所述，正方形與矩形重疊圖形的面積為：