Question

【題目】如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線EF經過點C，AD⊥EF于點D，∠DAC=∠BAC．

（1）求證：EF是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為2，∠ACD=30°，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）連接OC，由OA=OC，利用等邊對等角得到∠OAC=∠OCA，由∠DAC=∠BAC，等量代換得到一對內錯角相等，得到AD與OC平行，由AD垂直于EF，得到OC垂直于EF，即可得到EF為圓O的切線；

（2）由∠ACD的度數求出∠OCA為60°，確定出三角形AOC為等邊三角形，由半徑為2求出AC的長，在直角三角形ACD中，由30度所對的直角邊等于斜邊的一半求出AD的長，再利用勾股定理求出CD的長，由扇形AOC面積減去三角形AOC面積求出弓形的面積，再由三角形ACD面積減去弓形面積即可求出陰影部分面積．

（1）連接OC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵∠DAC=∠BAC，

∴∠DAC=∠OCA，

∴AD∥OC，

∵AD⊥EF，

∴OC⊥EF，

則EF為圓O的切線；

（2）∵∠ACD=30°，∠ADC=90°，

∴∠CAD=∠OCA=60°，

∴△AOC為等邊三角形，

∴AC=OC=OA=2，

在Rt△ACD中，∠ACD=30°，

∴AD=AC=1，根據勾股定理得：CD=，

∴S陰影=S△ACD-（S扇形AOC-S△AOC）=×1×-（）=．