Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，二次函數交軸于點、，交軸于點，在軸上有一點，連接.

（1）求二次函數的表達式；

（2）若點為拋物線在軸負半軸上方的一個動點，求面積的最大值；

（3）拋物線對稱軸上是否存在點，使為等腰三角形，若存在，請直接寫出所有點的坐標，若不存在請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）二次函數的解析式為；（2）當時，的面積取得最大值；（3）點的坐標為，，.

【解析】（1）把已知點坐標代入函數解析式，得出方程組求解即可；

（2）根據函數解析式設出點D坐標，過點D作DG⊥x軸，交AE于點F，表示△ADE的面積，運用二次函數分析最值即可；

（3）設出點P坐標，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三種情況討論分析即可．

（1）∵二次函數y=ax2+bx+c經過點A（﹣4，0）、B（2，0），C（0，6），

∴，

解得：，

所以二次函數的解析式為：y=；

（2）由A（﹣4，0），E（0，﹣2），可求AE所在直線解析式為y=，

過點D作DN⊥x軸，交AE于點F，交x軸于點G，過點E作EH⊥DF，垂足為H，如圖，

設D（m，），則點F（m，），

∴DF=﹣（）=，

∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=×DF×AG+DF×EH

=×DF×AG+×DF×EH

=×4×DF

=2×（）

=，

∴當m=時，△ADE的面積取得最大值為．

（3）y=的對稱軸為x=﹣1，設P（﹣1，n），又E（0，﹣2），A（﹣4，0），可求PA=，PE=，AE=，分三種情況討論：

當PA=PE時，=，解得：n=1，此時P（﹣1，1）；

當PA=AE時，=，解得：n=，此時點P坐標為（﹣1，）；

當PE=AE時，=，解得：n=﹣2，此時點P坐標為：（﹣1，﹣2）．

綜上所述：P點的坐標為：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）．