Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中，點E為邊AB上任意一點，點D在邊CB的延長線上，且ED＝EC.

(1)當點E為AB的中點時(如圖1)，則有AE DB(填“＞”“＜”或“＝”)；

(2)猜想AE與DB的數量關系，并證明你的猜想．

Answer 1

【答案】(1)=; (2)見解析

【解析】試題分析：

（1）△BCE中可證，∠BCE=30°，又EB=EC，則∠D=∠ECB=30°，所以△BCE是等腰三角形，結合AE=BE即可；

（2）過E作EF∥BC交AC于F，用AAS證明△DEB≌△ECF．

試題解析：

（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，AB＝AC＝BC.

∵E為AB的中點，所以∠BCE=30°.

∵ED=EC，∴∠D=∠BCE=30°，∴∠BED=30°，∴∠D=∠BED，∴BD=BE，

∴BD=AE.

（2）當點E為AB上任意一點時，AE與DB的大小關系不會改變．理由如下：

過E作EF∥BC交AC于F，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC.

∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°.

∴△AEF是等邊三角形．∴AE＝EF＝AF.

∵∠ABC＝∠ACB＝∠AFE＝60°，

∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D＋∠BED＝∠FCE＋∠ECD＝60°.

∵DE＝EC，∴∠D＝∠ECD.∴∠BED＝∠ECF.

在△DEB和△ECF中，

∴△DEB≌△ECF(AAS)．

∴BD＝EF＝AE，即AE＝BD.