Question

從甲、乙兩題中選做一題，如果兩題都做，只以甲題計分．
甲題：若關于x的一元二次方程x²-2（2-k）x+k²+12=0有實數根α、β．
（1）求實數k的取值范圍；
（2）設t=

α+β

k

，求t的最小值．
乙題：如圖，在△ABC中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的角平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結論．

Answer 1

分析：甲題（1）根據一元二次方程的根的判別式求出即可；
（2）根據根與系數的關系和k的范圍求出即可；
乙題，先證OE=OC=OF，得出平行四邊形AECF，證∠ECF=90°，根據矩形的判定推出即可．

解答：甲題：解：（1）∵一元二次方程x²-2（2-k）x+k²+12=0有實數根α、β
∴△≥0，即4（2-k）²-4（k²⁺12）≥0，
解得k≤-2；
（2）由根與系數的關系得：α+β=-[-2（2-k）]=4-2k，
t=

α+β

k

=

4-2k

k

=

4

k

-2，
∵k≤-2，
∴-4≤t＜0，
答：t的最小值為-4；               
乙題：當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形，
證明：
∵MN∥BC，
∴∠2=∠3，
∵CF平分∠ACQ，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴OC=OF，
同理OE=OC，
∴OE=OF，
∵AO=OC，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵CE平分∠BCA，∠1=∠2=

1

2

∠ACQ，
∴∠BCE=∠ECA=

1

2

∠BCA，
∴∠ECF=

1

2

（∠BCA+∠ACQ）=90°，
∴平行四邊形AECF是矩形．

點評：本題考查了平行線性質，根的判別式，根與系數的關系，平行四邊形的判定和矩形的判定，主要考查學生運用定理進行推理和計算的能力．