Question

【題目】如圖，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，PA＝5，PB＝，PC＝，將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°．

（1）畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形；

（2）求點(diǎn)C和點(diǎn)P′的距離．

Answer 1

【答案】（1）如圖所示，△ABP'即為所求；見(jiàn)解析；（2）點(diǎn)C和點(diǎn)P′的距離為3．

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)將圖形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)作圖即可解決.

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理求出AP'2+PP'2的值與AP2的值進(jìn)行比較，然后確定△APP'是直角三角形，然后角角之間的關(guān)系求∠CPP'的度數(shù)，根據(jù)平角的定義得到P'，P，C三點(diǎn)共線，最后求CP′的長(zhǎng)度即可.

（1）分別將BP、BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，依次連接即可，如圖所示，△ABP'即為所求；

（2）由旋轉(zhuǎn)可得△BCP≌△BAP'，

∴AP'＝CP＝，BP'＝BP＝，∠ABP'＝∠CBP，

∵∠ABC＝∠ABP+∠CBP＝90°，

∴∠PBP'＝∠ABP+∠ABP'＝90°，

∴Rt△PBP'中，PP'＝＝2，∠BP'P＝∠BPP'＝45°，

∴AP'2+PP'2＝5+20＝25，

又∵AP2＝25，

∴AP'2+PP'2＝AP2，

∴△APP'是直角三角形，且∠AP'P＝90°，

∴∠AP'B＝135°，

∴∠BPC＝135°，

∴∠CPP'＝135°+45°＝180°，即P'，P，C三點(diǎn)共線，

∴CP'＝PP'+CP＝2＝3，

即點(diǎn)C和點(diǎn)P′的距離為3．