Question

【題目】如圖，AB是⊙O的弦，點C為⊙O外一點，CO⊥OA，交AB于點P，連接BC，BC=PC．

(1)求證：BC是⊙O的切線；

(2)若⊙O的半徑為3，OP=1，求PC的長．

(3)在（2）的條件下，求BP的長．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)PC=4；(3)．

【解析】

（1）由垂直定義得∠A＋∠APO＝90°，根據等腰三角形的性質由CP＝CB得∠CBP＝∠CPB，根據對頂角相等得∠CPB＝∠APO，所以∠APO＝∠CBP，而∠A＝∠OBA，所以∠OBC＝∠CBP＋∠OBA＝∠APO＋∠A＝90°，然后根據切線的判定定理得到BC是⊙O的切線；（2）設BC＝x，則PC＝x，在Rt△OBC中，根據勾股定理得到32＋x2＝（x＋1）2，然后解方程即可．（3）作CM⊥BP，垂足為M.由BC=PC,則BM=PM.結合題意，由勾股定理得.由相似三角形的判定得到△APO∽△CPM，由相似三角形的性質得到，再由計算得到答案.

(1)證明：連接OB，

∵OA=OB，BC=PC，

∴∠A=∠ABO，∠BPC=∠PBC，

又∵∠APO=∠BPC，

∴∠APO=∠PBC，

又∵CO⊥AO，

∴∠APO+∠A=90，

∴∠PBC+∠ABO=90，

∴∠OBC=90，

∴BC是☉O的切線.

(2) 設BC＝x，則PC＝x，
在Rt△OBC中，OB＝3，OC＝CP＋OP＝x＋1，
∵OB2＋BC2＝OC2，
∴32＋x2＝（x＋1）2，
解得x＝4，
即PC的長為4．

(3)作CM⊥BP，垂足為M.

∵BC=PC,∴BM=PM.

又∵OA=3,OP=1,CO⊥AO，由勾股定理得.

又∠AOC=∠CMP=90°，∠APO=∠CPM，

∴△APO∽△CPM，

∴，

∴，

∴.