Question

【題目】如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，且BD=BC，延長AD到E，且有∠EBD=∠CAB．

⑴求證：BE是⊙O的切線；

⑵若BC=，AC=5，求圓的直徑AD的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）6

【解析】

（1）先根據等弦所對的劣弧相等，再結合∠EBD=∠CAB從而得到∠BAD=∠EBD，最后用直徑所對的圓周角為直角即可；
（2）利用三角形的中位線先求出OM，再用勾股定理求出半徑r，最后得到直徑的長．

解：⑴證明：連接OB,CD,OB、CD交于點M

∵BC=BD，

∴∠CAB=∠BAD.

∵OA=OB,

∴∠BAD=∠OBA.

∴∠CAB=∠OBA.

∴OB∥AC.

又AD是直徑,

∴∠ABD=∠ACD =90°，

又∠EBD=∠CAB, ∠CAB=∠OBA.

∴∠OBE=90°，即OB⊥BE.

又OB是半徑,

∴BE是⊙O的切線．

⑵∵ OB∥AC, OA=OD,AC=5,.

∴ OM=2.5 ,BM=OB-2.5,OB⊥CD

設⊙O的半徑為r，則

在Rt△OMD中：MD2=r2-2.52;

在Rt△BMD中：MD2=BD2-(r-2.5)2 ,BD=BC=.

∴r1=3 ,r2=-0.5(舍).

∴圓的直徑AD的長是6．