Question

【題目】已知二次函數y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象經過點A（1，2）．

（1）當b＝1，c＝﹣4時，求該二次函數的表達式；

（2）已知點M（t﹣1，5），N（t+1，5）在該二次函數的圖象上，請直接寫出t的取值范圍；

（3）當a＝1時，若該二次函數的圖象與直線y＝3x﹣1交于點P，Q，將此拋物線在直線PQ下方的部分圖象記為C，

①試判斷此拋物線的頂點是否一定在圖象C上？若是，請證明；若不是，請舉反例；

②已知點P關于拋物線對稱軸的對稱點為P′，若P′在圖象C上，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝5x2+x﹣4；（2）0＜t＜2；（3）①不是，反例見解析；②b＞4或b＜﹣2．

【解析】

（1）將點A的坐標和b、c的值代入y＝ax2+bx+c中便可求得a的值，問題便可解決；

（2）由點M，N的坐標推出該二次函數的對稱軸是直線x＝t，結合拋物線 （a＞0）開口向上推出點M，N分別落在點A（1，2）的左側和右側，由此可列出關于t的不等式組，解此不等式組即可；

（3）①如舉反例拋物線y＝x2+1與直線y＝3x﹣1，判斷它們有兩個交點（即聯立方程組有兩組不同的解），并求出拋物線頂點坐標不在直線y＝3x﹣1之下便可；

②要使點P關于拋物線對稱軸的對稱點為P′在圖象C上，則二次函數y＝ax2+bx+c（a＞0）圖象的頂點必在C上，則當x＝﹣時，ax2+bx+c＜3x﹣1，得到一個關于a、b、c的不等式，把a＝1，A（1，2）代入y＝ax2+bx+c（a＞0）中，用b表示c，再把a＝1與c代入前面得到的關于a、b、c的不等式中，便可求得b的取值范圍．

解：（1）把點A（1，2）．b＝1，c＝﹣4代入二次函數y＝ax2+bx+c（a＞0），

得：2＝a+1﹣4

∴a＝5，b＝1，c＝﹣4，

∴二次函數的表達式為y＝5x2+x﹣4；

（2）∵點M（t﹣1，5），N（t+1，5）在該二次函數的圖象上，

∴該二次函數的對稱軸是直線x＝t，

∵拋物線 （a＞0）開口向上，A（1，2），M，N 在該二次函數圖象上，且5＞2，

∴由二次函數的圖象及性質得，點M，N分別落在點A的左側和右側，

∴t﹣1＜1＜t+1，

∴t的取值范圍是0＜t＜2；

（3）①不是．反例如下：

若拋物線的解析式為y＝x2+1，則

把y＝3x﹣1代入上式，得x2+1＝3x﹣1，

整理得，x2﹣3x+2＝0，

∵△＝9﹣8＞0，

∴方程x2﹣3x+2＝0有兩個不相等的實數根，

則拋物線y＝x2+1與直線y＝3x﹣1有兩個交點，

∵y＝x2+1的頂點為（0，1）

當x＝0時，y＝3x﹣1＝﹣1＜1，

∴拋物線y＝x2+1的頂點在直線y＝3x﹣1的上方，

∴此拋物線的頂點不在圖象C上．

②∵點P關于拋物線對稱軸的對稱點為P′，且P′在圖象C上，

∴當a＝1時，該二次函數y＝ax2+bx+c（a＞0）的圖象的頂點在直線y＝3x﹣1下方，

∴當x＝﹣時，x2+bx+c＜3x﹣1，

即，

把A（1，2）代入y＝x2+bx+c中，得1+b+c＝2，故c＝1﹣b，

∴，

整理得b2﹣2b＞8，

∴（b﹣1）2＞9，

∴b﹣1＞3或b﹣1＜﹣3，

∴b＞4或b＜﹣2．