Question

【題目】如圖，已知拋物線經過點A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三點，點D與點C關于x軸對稱，點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為（m，0），過點P做x軸的垂線l交拋物線于點Q，交直線BD于點M．

（1）求該拋物線所表示的二次函數的表達式；

（2）已知點F（0，），當點P在x軸上運動時，試求m為何值時，四邊形DMQF是平行四邊形？

（3）點P在線段AB運動過程中，是否存在點Q，使得以點B、Q、M為頂點的三角形與△BOD相似？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+2；（2）m=﹣1或m=3時，四邊形DMQF是平行四邊形；（3）點Q的坐標為（3，2）或（﹣1，0）時，以點B、Q、M為頂點的三角形與△BOD相似．

【解析】

（1）待定系數法求解可得；
（2）先利用待定系數法求出直線BD解析式為y=x-2，則Q（m，-m2+m+2）、M（m，m-2），由QM∥DF且四邊形DMQF是平行四邊形知QM=DF，據此列出關于m的方程，解之可得；
（3）易知∠ODB=∠QMB，故分①∠DOB=∠MBQ=90°，利用△DOB∽△MBQ得，再證△MBQ∽△BPQ得，即，解之即可得此時m的值；②∠BQM=90°，此時點Q與點A重合，△BOD∽△BQM′，易得點Q坐標．

（1）由拋物線過點A（-1，0）、B（4，0）可設解析式為y=a（x+1）（x-4），
將點C（0，2）代入，得：-4a=2，
解得：a=-，
則拋物線解析式為y=-（x+1）（x-4）=-x2+x+2；
（2）由題意知點D坐標為（0，-2），
設直線BD解析式為y=kx+b，
將B（4，0）、D（0，-2）代入，得：

，解得：，
∴直線BD解析式為y=x-2，
∵QM⊥x軸，P（m，0），
∴Q（m，--m2+m+2）、M（m，m-2），
則QM=-m2+m+2-（m-2）=-m2+m+4，
∵F（0，）、D（0，-2），
∴DF=，
∵QM∥DF，
∴當-m2+m+4=時，四邊形DMQF是平行四邊形，
解得：m=-1（舍）或m=3，
即m=3時，四邊形DMQF是平行四邊形；
（3）如圖所示：

∵QM∥DF，
∴∠ODB=∠QMB，
分以下兩種情況：
①當∠DOB=∠MBQ=90°時，△DOB∽△MBQ，
則，
∵∠MBQ=90°，
∴∠MBP+∠PBQ=90°，
∵∠MPB=∠BPQ=90°，
∴∠MBP+∠BMP=90°，
∴∠BMP=∠PBQ，
∴△MBQ∽△BPQ，
∴，即，
解得：m1=3、m2=4，
當m=4時，點P、Q、M均與點B重合，不能構成三角形，舍去，
∴m=3，點Q的坐標為（3，2）；
②當∠BQM=90°時，此時點Q與點A重合，△BOD∽△BQM′，
此時m=-1，點Q的坐標為（-1，0）；
綜上，點Q的坐標為（3，2）或（-1，0）時，以點B、Q、M為頂點的三角形與△BOD相似．