Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（a，0），（b，0），且滿足現同時將點A，B分別向上平移2個單位，再向右平移1個單位，分別得到點A，B的對應點C，D，連接AC，BD．

（1）求點C，D的坐標及四邊形ABDC的面積；

（2）在y軸上是否存在一點M，連接MA，MB，使S△MAB=S四邊形ABDC？若存在這樣一點，求出點M的坐標；若不存在，試說明理由；

（3）點P是射線BD上的一個動點（不與B，D重合），連接PC，PA，求∠CPA與∠DCP、∠BAP之間的關系．

Answer 1

【答案】（1）C(0，2)，D(4，2)，S四邊形ABDC=8；（2）M(0，4)或(0，-4)；（3）∠CPA= ∠BAP+∠DCP或∠CPA= ∠BAP-∠DCP．

【解析】

（1）由題意根據非負數的性質求出A、B坐標，進而分析得出C、D坐標，繼而即可求出四邊形ABDC的面積；

（2）由題意可知以AB為底邊，設點M到AB的距離為h即三角形MAB的高，求得h的值即可得出點M的坐標；

（3）根據題意分當點P在線段BD上時以及當點P在BD延長線上時，利用平行線的性質進行分析即可.

解: （1）由得a=-1，b=3，則A(-1，0)，B(3，0)，

∵點A，B分別向上平移2個單位，再向右平移1個單位，分別得到點A，B的對應點C，D，如圖，

∴C(0，2)，D(4，2)，

∴S四邊形ABDC=AB×OC=4×2=8.

（2）存在．設點M到AB的距離為h，S△MAB=×AB×h=2h，

由S△MAB=S四邊形ABDC，得2h=8，解得h=4，

可知這樣的M點在y軸上有兩個，

∴M(0，4)或(0，-4).

（3） ①當點P在線段BD上時：∠CPA=∠DCP+∠BAP，理由如下：

過P點作PE∥AB交OC與E點，

∵AB∥CD， PE∥AB，

∴AB∥PE∥CD，

∴∠DCP=∠CPE， ∠BAP=∠APE，

∵∠CPA=∠CPE+∠APE，

∴∠CPA=∠DCP+∠BAP；

②當點P在BD延長線上時：∠CPA= ∠BAP-∠DCP，理由如下：

過P點作PE∥AB，

∵AB∥CD，PE∥AB，

∴AB∥PE∥CD，

∴∠DCP=∠CPE，∠BAP=∠APE，

∵∠CPA= ∠APE-∠CPE。

∴∠CPA= ∠BAP-∠DCP.