Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣（x﹣1）2+m經過E（2，3），與x軸交于A、B兩點（A在B的左側）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線的對稱軸與x軸的交于點是H，點F是AE中點，連接FH．求線段FH的長；

（3）P為直線AE上方拋物線上的點．當△AEP的面積最大時．求P點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣（x﹣1）2+4；（2）；（3）當t=時，S△PAE有最大值，此時P點坐標為（）

【解析】(1)、將點E的坐標代入解析式求出函數解析式；(2)、根據二次函數的解析式分別求出點A、點B和點H的坐標，根據中點坐標的求法得出點F的坐標，最后根據兩點之間的距離公式得出答案；(3)、過P作PG∥y軸，交直線AE于點G，首先利用待定系數法求出直線AE的函數解析式，設P（t，﹣（t﹣1）2+4），則G（t，t+1），根據三角形的面積等于鉛垂×水平÷2得出函數解析式，根據二次函數的性質得出最大值．

（1）∵y=﹣（x﹣1）2+m經過E（2，3），∴3=﹣（2﹣1）2+m，解得m=4，

∴拋物線解析式為y=﹣（x﹣1）2+4；

（2）在y=﹣（x﹣1）2+4中，令y=0可得﹣（x﹣1）2+4=0，解得x=3或x=﹣1，

∴A（﹣1，0），∵F是AE的中點，且E（2，3）∴F（，），

由拋物線解析式可求得拋物線對稱軸為x=1，∴H（1，0），

∴FH==；

（3）如圖，過P作PG∥y軸，交直線AE于點G，設直線AE解析式為y=kx+b，

∴，解得，∴直線AE解析式為y=x+1，

∵P為直線AE上方拋物線上的點，∴設P（t，﹣（t﹣1）2+4），則G（t，t+1），

∴PG=﹣（t﹣1）2+4﹣（t+1）=﹣t2+t+2=﹣（t﹣）2+，

∴S△PAE=PG[2﹣（﹣1）]= PG=﹣（t﹣）2+，

∵﹣＜0， ∴當t=時，S△PAE有最大值，此時P點坐為（）．