Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y= （x﹣m）2﹣ m2+m的頂點為A，與y軸的交點為B，連結AB，AC⊥AB，交y軸于點C，延長CA到點D，使AD=AC，連結BD．作AE∥x軸，DE∥y軸．

（1）當m=2時，求點B的坐標；
（2）求DE的長？
（3）①設點D的坐標為（x，y），求y關于x的函數關系式？②過點D作AB的平行線，與第（3）①題確定的函數圖象的另一個交點為P，當m為何值時，以A，B，D，P為頂點的四邊形是平行四邊形？

Answer 1

【答案】
（1）

解：當m=2時，y= （x﹣2）2+1，

把x=0代入y= （x﹣2）2+1，得：y=2，

∴點B的坐標為（0，2）

（2）

解：延長EA，交y軸于點F，

∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE，

∴△AFC≌△AED，

∴AF=AE，

∵點A（m，﹣ m2+m），點B（0，m），

∴AF=AE=|m|，BF=m﹣（﹣ m2+m）= m2，

∵∠ABF=90°﹣∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°，

∴△ABF∽△DAE，

∴ ，即： = ，

∴DE=4．

（3）

解：①∵點A的坐標為（m，﹣ m2+m），

∴點D的坐標為（2m，﹣ m2+m+4），

∴x=2m，y=﹣ m2+m+4，

∴y=﹣ + +4，

∴所求函數的解析式為：y=﹣ x2+ x+4，

②作PQ⊥DE于點Q，則△DPQ≌△BAF，

（i）當四邊形ABDP為平行四邊形時（如圖1），

點P的橫坐標為3m，

點P的縱坐標為：（﹣ m2+m+4）﹣（ m2）=﹣ m2+m+4，

把P（3m，﹣ m2+m+4）的坐標代入y=﹣ x2+ x+4得：

﹣ m2+m+4=﹣ ×（3m）2+ ×（3m）+4，

解得：m=0（此時A，B，D，P在同一直線上，舍去）或m=8．

（ii）當四邊形ABPD為平行四邊形時（如圖2），

點P的橫坐標為m，

點P的縱坐標為：（﹣ m2+m+4）+（ m2）=m+4，

把P（m，m+4）的坐標代入y=﹣ x2+ x+4得：

m+4=﹣ m2+ m+4，

解得：m=0（此時A，B，D，P在同一直線上，舍去）或m=﹣8，

綜上所述：m的值為8或﹣8．

【解析】（1）將m=2代入原式，得到二次函數的頂點式，據此即可求出B點的坐標；（2）延長EA，交y軸于點F，證出△AFC≌△AED，進而證出△ABF∽△DAE，利用相似三角形的性質，求出DE=4；（3）①根據點A和點B的坐標，得到x=2m，y=﹣ m2+m+4，將m= 代入y=﹣ m2+m+4，即可求出二次函數的表達式；
②作PQ⊥DE于點Q，則△DPQ≌△BAF，然后分（如圖1）和（圖2）兩種情況解答．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．