Question

【題目】（操作發現）

如圖①，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，△ABC的三個頂點均在格點上．

（1）請按要求畫圖：將△ABC繞點A按順時針方向旋轉90°，點B的對應點為B′，點C的對應點為C′，連接BB′；

（2）在（1）所畫圖形中，∠AB′B=____．

（問題解決）

（3）如圖②，在等邊三角形ABC中，AC=7，點P在△ABC內，且∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面積．

小明同學通過觀察、分析、思考，對上述問題形成了如下想法：

想法一：將△APC繞點A按順時針方向旋轉60°，得到△AP′B，連接PP′，尋找PA，PB，PC三條線段之間的數量關系；

想法二：將△APB繞點A按逆時針方向旋轉60°，得到△AP′C′，連接PP′，尋找PA，PB，PC三條線段之間的數量關系．…

請參考小明同學的想法，完成該問題的解答過程．（一種方法即可）

Answer 1

【答案】（1）如圖，△AB′C′即為所求；見解析；（2）45°；（3）S△APC=.

【解析】

（1）如圖所示，△AB′C′即為所求；

（2）利用等腰三角形的性質即可解決問題；

【問題解決】

結論:PA2+PB2=PC2．

證法一：將△APC繞點A按順時針方向旋轉60°，得到△AP′B，連接PP′，尋找PA，PB，PC三條線段之間的數量關系；

證法二：將△APB繞點A按逆時針方向旋轉60°，得到△AP′C′，連接PP′，尋找PA，PB，PC三條線段之間的數量關系．

（1）如圖，△AB′C′即為所求；

（2）∵△ABB′是等腰直角三角形，
∴∠AB′B=45°．
故答案為45°；

（3）如圖②，

∵將△APB繞點A按逆時針方向旋轉60°，得到△AP′C′，

∴△APP′是等邊三角形，∠AP′C=∠APB=360°﹣90°﹣120°=150°，

∴PP′=AP，∠AP′P=∠APP′=60°，∴∠PP′C=90°，∠P′PC=30°，

∴PP′= PC，即AP= PC

∵∠APC=90°，∴AP2+PC2=AC2 ， 即（PC）2+PC2=72 ， ∴PC=，

∴AP=，∴S△APC=APPC=