Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是邊CD上一點，將△ADM沿直線AM對折，得到△ANM．

（1）當AN平分∠MAB時，求DM的長；

（2）連接BN，當DM=1時，求△ABN的面積；

（3）當射線BN交線段CD于點F時，求DF的最大值．

Answer 1

【答案】（1）DM=；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）由折疊性質得∠MAN=∠DAM，證出∠DAM=∠MAN=∠NAB，由三角函數得出DM=ADtan∠DAM=即可；

（2）延長MN交AB延長線于點Q，由矩形的性質得出∠DMA=∠MAQ，由折疊性質得出∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，得出∠MAQ=∠AMQ，證出MQ=AQ，設NQ=x，則AQ=MQ=1+x，證出∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ=4，AQ=5，即可求出△ABN的面積；

（3）過點A作AH⊥BF于點H，證明△ABH∽△BFC，得出對應邊成比例，得出當點N、H重合（即AH=AN）時，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此時點M、F重合，B、N、M三點共線，由折疊性質得：AD=AH，由AAS證明△ABH≌△BFC，得出CF=BH，由勾股定理求出BH，得出CF，即可得出結果．

試題解析：（1）由折疊性質得：△ANM≌△ADM，∴∠MAN=∠DAM，∵AN平分∠MAB，∠MAN=∠NAB，∴∠DAM=∠MAN=∠NAB，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，∴∠DAM=30°，∴DM=ADtan∠DAM=3×tan30°==；

（2）延長MN交AB延長線于點Q，如圖1所示，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠DMA=∠MAQ，由折疊性質得：△ANM≌△ADM，∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，∴∠MAQ=∠AMQ，∴MQ=AQ，設NQ=x，則AQ=MQ=1+x，∵∠ANM=90°，∴∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得：，∴，解得：x=4，∴NQ=4，AQ=5，∵AB=4，AQ=5，∴S△NAB===ANNQ=；

（3）過點A作AH⊥BF于點H，如圖2所示，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠HBA=∠BFC，∵∠AHB=∠BCF=90°，∴△ABH∽△BFC，∴，∵AH≤AN=3，AB=4，∴當點N、H重合（即AH=AN）時，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此時點M、F重合，B、N、M三點共線，如圖3所示：

由折疊性質得：AD=AH，∵AD=BC，∴AH=BC，在△ABH和△BFC中，∵∠HBA=∠BFC，∠AHB=∠BCF，AH=BC，∴△ABH≌△BFC（AAS），∴CF=BH，由勾股定理得：BH=，∴CF=，∴DF的最大值=DC﹣CF=．