Question

【題目】如圖1，平面直角坐標系中，等腰的底邊在軸上，，頂點在的正半軸上，，一動點從出發，以每秒1個單位的速度沿向左運動，到達的中點停止．另一動點從點出發，以相同的速度沿向左運動，到達點停止．已知點、同時出發，以為邊作正方形，使正方形和在的同側．設運動的時間為秒（）．

（1）當點落在邊上時，求的值；

（2）設正方形與重疊面積為，請問是存在值，使得？若存在，求出值；若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，取的中點，連結，當點、開始運動時，點從點出發，以每秒個單位的速度沿運動，到達點停止運動．請問在點的整個運動過程中，點可能在正方形內（含邊界）嗎？如果可能，求出點在正方形內（含邊界）的時長；若不可能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）t=1；（2）存在，，理由見解析；（3）可能，或或理由見解析

【解析】

（1）用待定系數法求出直線AC的解析式，根據題意用t表示出點H的坐標，代入求解即可；

（2）根據已知，當點F運動到點O停止運動前，重疊最大面積是邊長為1的正方形的面積，即不存在t，使重疊面積為，故t﹥4,用待定系數法求出直線AB的解析式，求出點H落在BC邊上時的t值，求出此時重疊面積為﹤，進一步求出重疊面積關于t的表達式，代入解t的方程即可解得t值；

（3）由已知求得點D（2，1），AC=，OD=OC=OA=,結合圖形分情況討論即可得出符合條件的時長．

（1）由題意，A(0，2)，B(-4，0)，C(4，0)，

設直線AC的函數解析式為y=kx+b，

將點A、C坐標代入，得：

，解得：，

∴直線AC的函數解析式為，

當點落在邊上時，點E(3-t，0)，點H（3-t，1），

將點H代入，得：

，解得：t=1；

（2）存在，，使得．

根據已知，當點F運動到點O停止運動前，重疊最大面積是邊長為1的正方形的面積，即不存在t，使重疊面積為，故t﹥4，

設直線AB的函數解析式為y=mx+n，

將點A、B坐標代入，得：

，解得：，

∴直線AC的函數解析式為，

當t﹥4時，點E（3-t，0）點H（3-t，t-3），G(0，t-3)，

當點H落在AB邊上時，將點H代入，得：

，解得：；

此時重疊的面積為，

∵﹤，∴﹤t﹤5，

如圖1，設GH交AB于S，EH交AB于T,

將y=t-3代入得：，

解得：x=2t-10，

∴點S(2t-10，t-3)，

將x=3-t代入得：，

∴點T，

∴AG=5-t，SG=10-2t，BE=7-t，ET=，

,

所以重疊面積S==4--=，

由=得：，﹥5(舍去)，

∴；

（3）可能，≤t≤1或t=4．

∵點D為AC的中點，且OA=2,OC=4，

∴點D（2，1），AC=，OD=OC=OA=,

易知M點在水平方向以每秒是4個單位的速度運動；

當0﹤t﹤時，M在線段OD上，H未到達D點，所以M與正方形不相遇；

當﹤t﹤1時， +÷（1+4）=秒，

∴時M與正方形相遇，經過1÷（1+4）=秒后，M點不在正方行內部，則；

當t=1時，由（1）知，點F運動到原E點處，M點到達C處；

當1≤t≤2時，當t=1+1÷（4-1）=秒時，點M追上G點，經過1÷（4-1）=秒，點都在正方形內（含邊界），

當t=2時，點M運動返回到點O處停止運動，

當 t=3時，點E運動返回到點O處, 當 t=4時，點F運動返回到點O處,

當時，點都在正方形內（含邊界），

綜上，當或或時，點可能在正方形內（含邊界）．