Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，E是BC邊上的一個動點，DF⊥AE，垂足為點F，連結CF

（1）若AE＝BC

①求證：△ABE≌△DFA；②求四邊形CDFE的周長；③求tan∠FCE的值；

（2）探究：當BE為何值時，△CDF是等腰三角形．

Answer 1

【答案】(1)①證明見解析；②12；③；(2)當BE為3或2.5或2時，△CDF是等腰三角形．

【解析】

（1）①如圖1中，根據AAS證明：△ABE≌△DFA即可．

②利用勾股定理求出BE，即可解決問題．

③如圖2中，過點F作FM⊥BC于點M．求出FM，MC即可解決問題．

（2）分三種情形分別求解即可解決問題．

解：(1)①如圖1中，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，AD∥BC，∠B＝90°，∴∠AEB＝∠DAF．

∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°．

∴∠B＝∠AFD＝90°，

又∵AE＝BC，

∴AE＝AD，

∴△ABE≌△DFA(AAS)．

②如圖1中，在Rt△ABE中，∠B＝90°，

根據勾股定理，得 BE＝＝3，

∵△ABE≌△DFA，

∴DF＝AB＝DC＝4，AF＝BE＝3．

∵AE＝BC＝5，∴EF＝EC＝2，

∴四邊形CDFE的周長＝2(DC+EC)＝2×(4+2)＝12．

③如圖2中，過點F作FM⊥BC于點M．

，

在Rt△FME中， ，

，

在Rt△FMC中， ．

(2)如圖3﹣1中，當DF＝DC時，則DF＝DC＝AB＝4．

∵∠AEB＝∠DAF，∠B＝∠AFD＝90°，

∴△ABE≌△DFA(AAS)．

∴AE＝AD＝5，

由②可知，BE＝3，∴當BE＝3時，△CDF是等腰三角形．…

如圖3﹣2中，當CF＝CD時，過點C作CG⊥DF，垂足為點H，交AD于點G，

則CG∥AE，DH＝FH．

∴AG＝GD＝2.5．

∵CG∥AE，AG∥EC，

∴四邊形AECG是平行四邊形，

∴EC＝AG＝2.5，∴當BE＝2.5時，△CDF是等腰三角形．…

如圖3﹣中，當FC＝FD時，過點F作FQ⊥DC，垂足為點Q．

則AD∥FQ∥BC，DQ＝CQ，

∴AF＝FE＝AE．

∵∠B＝∠AFD＝90°，∠AEB＝∠DAF，

∴△ABE∽△DFA，

∴，即AD×BE＝AF×AE．

設BE＝x，

∴5x＝，

解得x1＝2，x2＝8(不符合題意，舍去)

∴當BE＝2時，△CDF是等腰三角形．

綜上所述，當BE為3或2.5或2時，△CDF是等腰三角形．