Question

【題目】如圖，拋物線的解析式為y＝﹣x+5，拋物線與x軸交于A、B兩點（A點在B點的左側），與y軸交于點C，拋物線對稱軸與直線BC交于點D．

（1）E點是線段BC上方拋物線上一點，過點E作直線EF平行于y軸，交BC于點F，若線段CD長度保持不變，沿直線BC移動得到C'D'，當線段EF最大時，求EC'+C'D'+D'B的最小值；

（2）Q是拋物線上一動點，請問拋物線對稱軸上是否存在一點P是△APQ為等邊三角形，若存在，請直接寫出三角形邊長，若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，滿足要求的等邊三角形的邊長可以是：6、2、2．

【解析】

（1）根據解析式把必要的點的坐標及線段長度求出來備用．將E點橫坐標設為未知數，用E、F的縱坐標之差表示EF長度，通過配方求EF的最值及取得最值時E點坐標．由于C'D'長度不變，因此將EC'平移至E'D'，注意到∠CBO是30°，作D'G⊥OB于G，E'H⊥OB于H，根據垂線段最短原理即可確定最值．

（2）圖形有四種情況，分別進行構圖求解．當Q與B重合時對應兩種圖（P到x上方和下方），這兩種情況的等邊三角形的邊長是一樣的，就是AB的長；第三種情況，Q與C重合，此時的等邊三角形邊長就是AC長度（這種情況下，P其實就是△ABC的外心）；第四種情況，Q在第三象限，由于PQ＝PA＝PB，根據圓周角與圓心角的關系可得∠ABQ＝30°，于是可求出BQ解析式，將BQ解析式與拋物線解析式聯立方程組可解出Q點坐標，然后由兩點間的距離公式求出AQ長度就是對應的等邊三角形的邊長．

解：（1）因為y＝﹣x2+x+5＝﹣（x﹣5）（x+），

∴A（﹣，0），B（5，0），C（0，5），拋物線對稱軸為x＝＝2，

由B、C坐標可求得直線BC的解析式為y＝﹣x+5，

令x＝2，則y＝﹣×2+5＝3，

∴D（2，3），

∴CD＝C'D'＝4．

設E（m，﹣m2+m+5），則F（m，﹣m+5），

∴EF＝yE﹣yF＝﹣m2+m+5+m﹣5＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，

∴當m＝時，EF取得最大值，此時E（，）．

如圖1，作平行四邊形EC'D'E'，則EC'＝E'D'，E'（，）．

作D'G⊥OB于G，E'H⊥OB于H．

∵tan∠CBO＝＝＝，所以∠CBO＝30°，

∴D'G＝D'B，

∴EC'+C'D'+D'B＝C'D'+E'D'+D'G≥C'D'+E'H，

當且僅當E'、D'、G三點共線時，

EC'+C'D'+D'B取得最小值C'D'+E'H＝4+＝．

（2）①如圖2，△APQ是等邊三角形，此時Q與B重合，

∴等邊三角形的邊長為AQ＝AB＝6．

②如圖3，△APQ是等邊三角形，此時Q與B重合，P在x軸下方．

∴等邊三角形的邊長為AQ＝AB＝6．

③如圖4，△APQ是等邊三角形，此時Q與C重合，P在x軸上方．

∴等邊三角形的邊長為AQ＝AC＝2．

④如圖5，△APQ是等邊三角形，此時Q在第三象限，P在x軸下方．

∵PA＝PB＝PQ，所以A、Q、B三點在以P為圓心PA為半徑為圓周上，

∴∠ABQ＝∠APQ＝30°，

∴直線BQ的解析式為y＝x﹣5，

聯立方程組，

解得或（舍），

∴Q＝（﹣2，﹣7），

∴AQ＝2，即等邊△APQ的邊長為2．

綜上所述，滿足要求的等邊三角形的邊長可以是：6、2、2．