Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+2ax+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C（0，3），tan∠OAC=．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)H是線段AC上任意一點(diǎn)，過H作直線HN⊥x軸于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，求線段PH的最大值；

（3）點(diǎn)M是拋物線上任意一點(diǎn)，連接CM，以CM為邊作正方形CMEF，是否存在點(diǎn)M使點(diǎn)E恰好落在對稱軸上？若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y=﹣x2﹣x+3;(2);(3)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（﹣4，0），（﹣，），（﹣，）或（2，0）．

【解析】

試題分析：（1）由點(diǎn)C的坐標(biāo)以及tan∠OAC=可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)A、C的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，由點(diǎn)A、C的解析式利用待定系數(shù)法即可求出直線AC的解析式，設(shè)N（x，0）（﹣4＜x＜0），可找出H、P的坐標(biāo)，由此即可得出PH關(guān)于x的解析式，利用配方法即二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題；（3）過點(diǎn)M作MK⊥y軸于點(diǎn)K，交對稱軸于點(diǎn)G，根據(jù)角的計(jì)算依據(jù)正方形的性質(zhì)即可得出△MCK≌△MEG（AAS），進(jìn)而得出MG=CK．設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)利用正方形的性質(zhì)即可得出點(diǎn)G、K的坐標(biāo)，由正方形的性質(zhì)即可得出關(guān)于x的含絕對值符號(hào)的一元二次方程，解方程即可求出x值，將其代入拋物線解析式中即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵C（0，3），

∴OC=3，

∵tan∠OAC=，

∴OA=4，

∴A（﹣4，0）．

把A（﹣4，0）、C（0，3）代入y=ax2+2ax+c中，

得，解得：，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+3．

（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，

把A（﹣4，0）、C（0，3）代入y=kx+b中，

得：，解得：，

∴直線AC的解析式為y=x+3．

設(shè)N（x，0）（﹣4＜x＜0），則H（x， x+3），P（x，﹣x2﹣x+3），

∴PH=﹣x2﹣x+3﹣（x+3）=﹣x2﹣x=﹣（x﹣2）2+，

∵﹣＜0，

∴PH有最大值，

當(dāng)x=2時(shí)，PH取最大值，最大值為．

（3）過點(diǎn)M作MK⊥y軸于點(diǎn)K，交對稱軸于點(diǎn)G，則∠MGE=∠MKC=90°，

∴∠MEG+∠EMG=90°，

∵四邊形CMEF是正方形，

∴EM=MC，∠MEC=90°，

∴∠EMG+∠CMK=90°，

∴∠MEG=∠CMK．

在△MCK和△MEG中，，

∴△MCK≌△MEG（AAS），

∴MG=CK．

由拋物線的對稱軸為x=﹣1，設(shè)M（x，﹣x2﹣x+3），則G（﹣1，﹣x2﹣x+3），K（0，﹣x2﹣x+3），

∴MG=|x+1|，CK=|﹣x2﹣x+3﹣3|=|﹣x2﹣x|=|x2+x|，

∴|x+1|=|x2+x|，

∴x2+x=±（x+1），

解得：x1=﹣4，x2=﹣，x3=﹣，x4=2，

代入拋物線解析式得：y1=0，y2=，y3=，y4=0，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（﹣4，0），（﹣，），（﹣，）或（2，0）．