Question

【題目】已知，ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分線EF分別交AD、BC于點E、F，垂足為O．

(1)如圖1，連接AF、CE．求證：四邊形AFCE為菱形．

(2)如圖1，求AF的長．

(3)如圖2，動點P、Q分別從A、C兩點同時出發，沿△AFB和△CDE各邊勻速運動一周．即點P自A→F→B→A停止，點Q自C→D→E→C停止，在運動過程中，點P的速度為每秒1cm，點Q的速度為每秒0.8cm，設運動時間為t秒，若當以A、P、C、Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)AF＝5；(3)以A，C，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，t＝秒．

【解析】

（1）先證明四邊形為平行四邊形，再根據對角線互相垂直平分的四邊形是菱形作出判定；

（2）根據勾股定理即可求的長；

（3）分情況討論可知，點在上，點在上時，才能構成平行四邊形，根據平行四邊形的性質列出方程求解即可；

解：（1）四邊形是矩形，

，

，．

垂直平分，

．

在和中，

，

，

．

，

四邊形是平行四邊形，

，

四邊形為菱形．

（2）設菱形的邊長，則，

在中，，由勾股定理，得

，

解得：，

．

（3）由作圖可以知道，點上時，點上，此時，，，四點不可能構成平行四邊形；

同理點上時，點或上，也不能構成平行四邊形．

只有當點在上，點在上時，才能構成平行四邊形，

以，，，四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，

，

點的速度為每秒，點的速度為每秒，運動時間為秒，

，，

，

解得：．

以，，，四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，秒．