【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC＝30°，以AB為直徑的⊙O經過點C.過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點P.點D為圓上一點，且
，弦AD的延長線交切線PC于點E，連接BC．
（1）判斷OB和BP的數量關系,并說明理由；
（2）若⊙O的半徑為2，求AE的長．
【答案】（1）OB=BP，理由見解析（2）3
【解析】解：（1）OB=BP。理由如下：連接OC，
∵PC切⊙O于點C，∴∠OCP=90°。
∵OA=OC，∠OAC=30°，∴∠OAC=∠OCA=30°。
∴∠COP=60°。∴∠P=30°。
在Rt△OCP中，OC=
OP=OB=BP。
（2）由（1）得OB=OP。
∵⊙O的半徑是2，∴AP=3OB=3×2=6。
∵
，∴∠CAD=∠BAC=30°。∴∠BAD=60°。
∵∠P=30°，∴∠E=90°。
在Rt△AEP中，AE=AP=×6=3。
（1）首先連接OC，由PC切⊙O于點C，可得∠OCP=90°，又由∠BAC=30°，即可求得∠COP=60°，∠P=30°，然后根據直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，證得OB=BP。
（2）由（1）可得OB=OP，即可求得AP的長，又由，即可得∠CAD=∠BAC=30°，從而求得∠E=90°，從而在Rt△AEP中求得答案。
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【題目】把一邊長為40cm的正方形硬紙板，進行適當的剪裁，折成一個長方形盒子（紙板的厚度忽略不計）。
（1）如圖，若在正方形硬紙板的四角各剪一個同樣大小的正方形，將剩余部分折成一個無蓋的長方形盒子。
①要使折成的長方形盒子的底面積為484cm2，那么剪掉的正方形的邊長為多少？
②折成的長方形盒子的側面積是否有最大值？如果有，求出這個最大值和此時剪掉的正方形的邊長；如果沒有，說明理由。
（2）若在正方形硬紙板的四周剪掉一些矩形（即剪掉的矩形至少有一條邊在正方形硬紙板的邊上），將剩余部分折成一個有蓋的長方形盒子，若折成的一個長方形盒子的表面積為550cm2，求此時長方形盒子的長、寬、高（只需求出符合要求的一種情況）。
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【題目】如圖所示．
（1）已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度數；
（2）∠AOB=α，∠BOC=β，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的大小．
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【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為8，在各邊上順次截取AE=BF=CG=DH=5，則四邊形EFGH的面積是（ ） 
A.30
B.34
C.36
D.40
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【題目】設等腰三角形頂角為α，一腰上的高線與底邊所夾的角為β，是否存在α和β之間的必然關系？若存在，則把它找出來；若不存在，則說明理由。
小明是這樣做的，解：不存在，因為等腰三角形的角可以是任意度數。
親愛的同學，你認為小明的解法對嗎？若不對，那么你是怎么做的，請你寫出來。
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