Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．點P從A點出發沿A→C→B路徑向終點運動，終點為B點；點Q從B點出發沿B→C→A路徑向終點運動，終點為A點．點P和Q分別以每秒1cm和3cm的運動速度同時開始運動，當一個點到達終點時另一個點也停止運動，在某時刻，分別過P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．設運動時間為t秒，則當t=______秒時，△PEC與△QFC全等．

Answer 1

【答案】1或或12．

【解析】

根據題意進行分類討論，根據全等三角形的性質得出CP=CQ，代入得出關于t的方程，求出即可．

①如圖1，P在AC上，Q在BC上，

∵PE⊥l，QF⊥l，

∴∠PEC=∠QFC=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠EPC+∠PCE=90°，∠PCE+∠QCF=90°，

∴∠EPC=∠QCF，

則△PCE≌△CQF，

∴PC=CQ，

即6-t=8-3t，

t=1；

②如圖2，P在BC上，Q在AC上，

∵由①知：PC=CQ，

∴t-6=3t-8，

t=1；

t-6＜0，即此種情況不符合題意；

③當P、Q都在AC上時，如圖3，

CP=6-t=3t-8，

t=；

④當Q到A點停止，P在BC上時，AC=PC，t-6=6時，解得t=12．

∵P的速度是每秒1cm，Q的速度是每秒3cm，

P和Q都在BC上的情況不存在.

故答案為：1或或12．