Question

【題目】已知是直角三角形，，，直線經過點，分別過點、向直線作垂線，垂足分別為、.

（1）如圖1，當點，位于直線的同側時，證明：.

（2）如圖2，若點，在直線的異側，其它條件不變，是否依然成立？請說明理由.

（3）圖形變式：如圖3，銳角中，，直線經過點，點，分別在直線上，點，位于的同一側，如果，請找到圖中的全等三角形，并直接寫出線段，，的數量關系.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3），.

【解析】

（1）易證∠ABD=∠CAE，由AAS即可得出△ABD≌△CAE；
（2）易證∠ABD=∠CAE，由AAS即可得出△ABD≌△CAE；
（3）由∠CEA=∠ADB=∠BAC，根據三角形內角和定理和平角的定義可得∠ECA+∠EAC=∠EAC+∠DAB，得出∠DAB=∠ECA，由AAS即可證得△ABD≌△CAE，得出AD=EC，DB=AE，則ED=EC+DB．

解：（1）在中，，

∵，∴，∴.

又∵，，

∴.

（2）在中，，

∵，∴，∴，

∵，，

∴.

（3），.

理由如下：
∵∠CEA=∠ADB=∠BAC，
∴∠ECA+∠EAC=∠EAC+∠DAB，
∴∠DAB=∠ECA，
在△ABD和△CAE中，

∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD=EC，DB=AE，
∴ED=AD+AE=EC+DB．