Question

【題目】⑴如圖1，是正方形邊上的一點，連接，將繞著點逆時針旋轉90°，旋轉后角的兩邊分別與射線交于點和點.

①線段和的數量關系是 ；

②寫出線段和之間的數量關系.

⑵當四邊形為菱形，，點是菱形邊所在直線上的一點，連接，將繞著點逆時針旋轉120°，旋轉后角的兩邊分別與射線交于點和點.

①如圖2，點在線段上時，請探究線段和之間的數量關系，寫出結論并給出證明；

②如圖3，點在線段的延長線上時，交射線于點；若 ,直接寫出線段的長度.

Answer 1

【答案】⑴①; ②；⑵①. 理由見解析，②的長度為 . 理由見解析.

【解析】

（1）①根據旋轉的性質解答即可；

②根據正方形的性質和全等三角形的判定和性質解答即可；

（2）①根據菱形的性質和全等三角形的判定和性質解答即可；

②作輔助線，計算BD和BF的長，根據平行線分線段成比例定理可得BM的長，根據線段的差可得結論．

（1）①DB=DG，理由是：

∵∠DBE繞點B逆時針旋轉90°，如圖1，

由旋轉可知，∠BDE=∠FDG，∠BDG=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠CBD=45°，

∴∠G=45°，

∴∠G=∠CBD=45°，

∴DB=DG；

故答案為：DB=DG；

②BF+BE=BD，理由如下：

由①知：∠FDG=∠EDB，∠G=∠DBE=45°，BD=DG，

∴△FDG≌△EDB（ASA），

∴BE=FG，

∴BF+FG=BF+BE=BC+CG，

Rt△DCG中，∵∠G=∠CDG=45°，

∴CD=CG=CB，

∵DG=BD=BC，

即BF+BE=2BC=BD；

（2）①如圖2，BF+BE=BD，

理由如下：在菱形ABCD中，∠ADB=∠CDB=∠ADC=×60°=30°，

由旋轉120°得∠EDF=∠BDG=120°，∠EDB=∠FDG，

在△DBG中，∠G=180°-120°-30°=30°，

∴∠DBG=∠G=30°，

∴DB=DG，

∴△EDB≌△FDG（ASA），

∴BE=FG，

∴BF+BE=BF+FG=BG，

過點D作DM⊥BG于點M，如圖2，

∵BD=DG，

∴BG=2BM，

在Rt△BMD中，∠DBM=30°，

∴BD=2DM．

設DM=a，則BD=2a，

DM=a，

∴BG=2a，

∴，

∴BG=BD，

∴BF+BE=BG=BD；

②過點A作AN⊥BD于N，過D作DP⊥BG于P，如圖3，

Rt△ABN中，∠ABN=30°，AB=2，

∴AN=1，BN=，

∴BD=2BN=2，

∵DC∥BE，

∴，

∵CM+BM=2，

∴BM=，

Rt△BDP中，∠DBP=30°，BD=2，

∴BP=3，

由旋轉得：BD=BF，

∴BF=2BP=6，

∴GM=BG-BM=6+1-=．