Question

若兩條平行線被第三條直線所截，則同位角的平分線互相

 

；內錯角的平分線互相

 

；同旁內角的平分線互相

 

．

Answer 1

分析：若兩條平行線被第三條直線所截，則同位角相等，則同位角的平分線與第三條直線組成的角相等，所以同位角的平分線互相平行，同理內錯角的平分線互相平行，因為兩直線平行，同旁內角互補，所以同旁內角的平分線互相垂直．

解答：解：（1）如圖1，AB∥CD，EF與AB、CD分別相交于點O、M，OP、MN分別是∠BOE、∠DMO的平分線．
∵AB∥CD，
∴∠BOE=∠DMO（兩直線平行，同位角相等）．
∵OP、MN分別是∠BOE、∠DMO的平分線，
∴∠1=

1

2

∠BOE，∠2=

1

2

∠DMO，
∴∠1=∠2，
∴OP∥MN（同位角相等，兩直線平行）；

（2）如圖2，AB∥CD，EF與AB、CD分別相交于點O、M，OP、MN分別是∠AOM、∠DMO的平分線．
∵AB∥CD，
∴∠AOM=∠DMO（兩直線平行，內錯角相等）．
∵OP、MN分別是∠AOM、∠DMO的平分線，
∴∠1=

1

2

∠AOM，∠2=

1

2

∠DMO，
∴∠1=∠2，
∴OP∥MN（內錯角相等，兩直線平行）；

（3）如圖3，AB∥CD，EF與AB、CD分別相交于點O、M，OP、MN分別是∠BOM、∠DMO的平分線，并相交于點H．
∵AB∥CD，
∴∠BOM+∠DMO=180°（兩直線平行，同旁內角互補）．
∵OP、MN分別是∠BOM、∠DMO的平分線，
∴∠1=

1

2

∠BOM，∠2=

1

2

∠DMO，
∴∠1+∠2=90°，
在△OMH中，
∠1+∠2+∠OHM=180°，
∴∠OHM=180°-90°=90°，
即OP⊥MN．

點評：此題主要考查了平行線的判定定理即平行線的判定定理一兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行（簡記為：內錯角相等，兩直線平行）．平行線的判定定理二兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行（簡記為：同旁內角互補，兩直線平行）．