Question

【題目】如圖，在矩形中，點. 沿直線折疊矩形，使點落在邊上，與點重合．分別以，所在的直線為軸，軸建立平面直角坐標系，拋物線經過兩點．

（1）求及點的坐標；

（2）一動點從點出發，沿以每秒個單位長的速度向點運動， 同時動點從點出發，沿以每秒個單位長的速度向點運動， 當點運動到點時，兩點同時停止運動．設運動時間為秒，當為何值時，以，，為頂點的三角形與相似？

（3）點在拋物線對稱軸上，點在拋物線上，是否存在這樣的點與點 N，使以，，， 為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點與點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）當或時，以為頂點的三角形與相似；（3）存在符合條件的點，且它們的坐標為：①；②；③.

【解析】

（1）先求出OE=6，AE=4，設，根據勾股定理得到關于x方程組，求出點D坐標，根據待定系數法即可求解；

（2）根據題意得到，繼而得到，然后分和 求解即可；

（3）假設存在符合條件的點，分兩種情況討論：①為平行四邊形的對角線，②為平行四邊形的邊，根據平行四邊形性質即可求解．

（1）四邊形為矩形，

由題意得，

，

由勾股定理得，

設，則，

由勾股定理，得，解得，

拋物線過點

∵拋物線對應函數的解析式為

，解得：

拋物線的解析式為：；

（2）

由（1）可得，

而，

，

情況1：當，

，即，解得：

情況2：當

，即，解得：

當或時，以為頂點的三角形與相似；

（3）假設存在符合條件的點，分兩種情況討論：

①為平行四邊形的對角線，由于拋物線的對稱軸經過中點，

若四邊形是平行四邊形，那么點必為拋物線頂點，則，

平行四邊形的對角線互相平分，

線段必被中點平分，

則；

②為平行四邊形的邊，則，

設，則或；

將代入拋物線的解析式中，解得：，

此時；

將代入拋物線的解析式中，解得：，

此時；

綜上，存在符合條件的點，且它們的坐標為：

①；②；③．